a) Vì D là điềm đối xứng với H qua AB nên AB là đường trung trực của DH 
suy ra AH=AD (1) 
Vì E đối xứng với H qua AC nên AC là đường trung trực của HE 
suy ra AH=AE (2) 
Từ (1) và (2) suy ra AD=AE (3) 
Mặt khác ^DAB=^BAH; ^HAC=^CAE và ^BAH+^HAC=90* 
do đó ^DAB+^BAH+ ^HAC+^CAE=180* 
tức là D, A, E thẳng hàng (4) 
từ (3) và (4) suy ra D và E đối xứng với nhau qua A. 

b) Tam giác DHE có HA là trung tuyến và HA= 1/2 DE 
nên tam giác DHE vuông tại H. 

c) Tam giác ADB=tam giác AHB (c-c-c) 
suy ra ^ADB=^AHB=90* 
tương tự có ^AEC=90* 
suy ra BD//CE (cùng vuông góc với DE) 
nên tứ giác BAEC là hình thang có 2 góc vuông kề cạnh bên DE 
nên BAEC là hình thang vuông. 

d) Do AB là đường trung trực của DH nên BD=BH (5) 
Do AC là đường trung trực của EH nên CE=CH (6) 
công vế với vế của (5) và (6) ta có BD+CE=BH+CH 
hay BD+CE=BC

k mik nha bn

Thanks bn nha .Con bai đâu tiên

a)do AE//AC(gt) , mà AC \(⊥\) AB( và tg ABC vg tại A) nên BE \(⊥\)AB => ^EBA=90

xét tg HBE và tg BAE có ; ^BHE=^ABE =90 ; ^E chung 

=> tg HBE \(\infty\) tg BAE (g.g)

b) xét tg ABE vuông tại B có:  AB^2 +BE^2 =AE^2

                                             => 4^2 +BE^2 =5^2  => BE=3 (vì BE>0)

=> Diện tích tg ABE  là  \(\frac{1}{2}.AB.BE=\frac{1}{2}.4.3=6\left(cm^2\right)\)

xét tg ABI có: AH \(⊥\) BI (gt) và  H là t/đ của BI (vì HB=HI)

=> tg ABI cân tại A => AH là đg pg của ^BAI hay AE là pg của ^BAK

=> \(\frac{BE}{AB}=\frac{EK}{AK}\). Mà \(\frac{BE}{AB}=\frac{3}{4}\Rightarrow\frac{EK}{AK}=\frac{3}{4}\)

a) Do \(\widehat{BEC};\widehat{BDC}\) là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o\Rightarrow\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90^o\)

Hai tam giác vuông AEH và ADH có chung cạnh huyền AH nên A, E, D, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH.

Vậy ADHE là tứ giác nội tiếp.

Xét tam giác ABC có BD, CE là các đường cao nên H là trực tam. Vậy thì \(AI\perp BC\)

Hai tam giác vuông ABD và AIB có chung cạnh huyền AB nên A, D, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB.

Vậy ADIB là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có \(\Delta AHD\sim\Delta ACI\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{AC}=\frac{AD}{AI}\Rightarrow AH.AI=AD.AC\)

\(\Delta AHE\sim\Delta ABI\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{AB}=\frac{AE}{AI}\Rightarrow AH.AI=AB.AE\)

Vậy nên \(AB.AE=AH.AI=AD.AC\)

c) Tứ giác AION nội tiếp nên \(\widehat{AIN}=\widehat{AON}=\widehat{ANM}\)

Ta cùng có \(\Delta ADN\sim\Delta ANC\Rightarrow\frac{AD}{AN}=\frac{AN}{AC}\Rightarrow AN^2=AD.AC\)

Mà AD.AD = AH.AI nên AH.AI = AN²

\(\Rightarrow\Delta AHN\sim\Delta ANI\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ANH}=\widehat{AIN}=\widehat{ANM}\)

Vậy nên M, K , N thẳng hàng.

Bài làm

a) Ta có tia phân giác của góc \(\widehat{ABC}\)

=> \(\widehat{B}_1=\widehat{B_2}\)

Ta có tia phân giác của góc \(\widehat{ACB}\)

=> \(\widehat{C}_1=\widehat{C_2}\)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)( Tam giác ABC cân tại A )

=>\(\widehat{B}_1=\widehat{B_2}=\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\)

Xét tam giác ACN và tam giác  ABM có:

\(\widehat{B}_1=\widehat{C_1}\)( Chứng minh trên )

AB = AC ( tam giác ABC cân tại A )

\(\widehat{BAC}\)là góc chung

=> Tam giác ACN = tam giác  ABM ( g.c.g )                     ( đpcm )

b) ~ Mik nghĩ đề bài bn sai ở chỗ câu b. pk là A là trung điểm của DE mới phải ~

Vì \(\widehat{B}_1=\widehat{C_1}\)( Chứng minh trên )

Ta có: \(\widehat{B}_1\)đối diện với cạnh AD                                         ( 1 )   

       Vì \(\widehat{C_1}\)đối diện với cạnh EA                                      ^{_{( 2 )}}   

Từ  _{^{( 1 )}} và _{^{( 2 )}} => AD = AE

=> A là trung điểm của DE                                         ( đpcm )

# Hok_tốt #