\(e^x\ge x+1\) với mọi \(x\in R\) \(\Leftrightarrow e^x-x-1\ge0\) với mọi \(x\in R\)

Xét hàm số \(f\left(x\right)=e^x-x-1\) với mọi \(x\in R\)

Ta có : \(f'\left(x\right)=e^x-1=0\Leftrightarrow x=0\)

và : \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(e^x-x-1\right)=+\infty\)

        \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(e^x-x-1\right)=+\infty\)

Xét bảng biến thiên :

Từ bảng biến thiên ta có : \(f\left(x\right)\ge0\) với mọi \(x\in R\)

                              hay : \(e^x-x-1\ge0\) với mọi  \(x\in R\)

a)\(x^2+2xy+1+y^2=\left(x+y\right)^2+1\)

Vì \(\left(x+y\right)^2\ge0\)với mọi \(x,y\in\)

nên \(\left(x+y\right)^2+1>0\)với mọi \(x,y\in R\)

Vậy biểu thức \(x^2+2xy+y^2+1>0\left(x;y\in R\right)\)

b) \(-x^2+x-1=-\left(x^2-2x.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)=-\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{4}\)

Vì \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\left(x\in R\right)\)

nên \(-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\le0\left(x\in R\right)\)

do đó \(-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{4}< 0\left(x\in R\right)\)

Vậy biểu thức \(x-x^2-1< 0\left(x\in R\right)\)

a) x² + 2xy + 1 +y² = (x²+2xy+y²)+1=(x+y)²+1 mà (x+y)² luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x,y

=>x²+2xy+1+y²>1>0

b)x-x²-1=-(x²-x+1)=-((x²-2.x.0,5+0,25)+0,75)=-((x-0,5)²+0,75) mà (x-0,5)² luôn lớn hơn hoặc bằng 0 vớ mọi x

=>x-x²-1<0

TƯỞNG KHÔNG DỄ NHƯNG DỄ KHÔNG TƯỞNG!

x^2-x+1>0

<=>x²-2x.1/2+1/4+3/4>0

<=>(x-1/2)²+3/4 >0 ( luôn đúng với mọi x vì (x-1/2)²\(\ge\)0 với mọi x)

vậy x^2-x+1>0 với mọi x thuộc R

Mọi người giúp với 

Tìm x

x^2+5x=0

Chứng minh x^2-2x+3>0 với mọi số thực x

Đường trung bình của một tam là đoạn thẳng nối 2 trung điểm hai cạnh của tam giác.Cho tam giác ABC có I là trung điểm của cạnh AB.Qua I kẻ đường thẳng a // với cạnh BC cắt AC tại K

a) Chứng minh IK là đường trung bình của tam giác ABC

b) Tính độ dài IK với BC=12cm

c) Qua K kẻ đường thẳng b // với AB cắt BC tại L . Chứng minh rằng tứ giác BLKL là hình bình hành

Cho tam giác ABC có A = 90độ  , AC = 5cm , BC = 13cm . Gọi I là trung điểm của cạnh AB , D là điểm đối xứng với C qua I 

a) Tứ giác ADBC là hình gì ? Vì sao?

b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Chứng minh MI vuông góc AB 

c) tính diện tích tam giác ABC

Áp dụng BĐT Cosi:

\(\dfrac{x^2}{1+16x^4}+\dfrac{y^2}{1+16y^4}\le\dfrac{x^2}{8x^2}+\dfrac{y^2}{8y^2}=\dfrac{1}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\pm\dfrac{1}{2}\\y=\pm\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

ta có x-x²-1

=\(-x^2+x-1\)

=\(-\left(x^2-x+1\right)\)

=\(-\left(x^2-2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1\right)\)

=\(-\left(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)\)

=\(-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{4}\)

ta có \(-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2< 0\\ \)

\(-\frac{3}{4}< 0\)

=> 2 vế công lai luôn nhỏ hơn 0 với mọi x thuộc R

a) Rút gọn E Þ đpcm.

b) Điều kiện xác định E là: x ≠    ± 1  

Rút gọn F ta thu được F = 4 Þ đpcm

a) có \(\sqrt{x^2+2x+5}=\sqrt{x^2+2x+1+4}=\sqrt{\left(x+1\right)^2+4}\)Vì \(\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\in R\rightarrow\left(x+1\right)^2+4\ge0+4=4\forall x\in R\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+2x+5}\ge\sqrt{0+4}=\sqrt{4}=2\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=-1.\)

b) \(x>\sqrt{x}\Leftrightarrow x^2>x\Leftrightarrow x^2-x>0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)\ge0\)

Vì \(x>1\rightarrow x>0;x-1>0\)

\(\Rightarrow x\left(x-1\right)>0\) với mọi \(x>1\)

hay \(x>\sqrt{x}\) (đpcm)

Chúc bạn học tốt!

a)

√(x^2+2x+5)>2

<=>x^2+2x+5>4

<=>x^+2x+1>0

(x+1)^2 > 0 =>dpcm

b)

x>1<=>x^2>x

x(x-1)>0

luon dung

x²-2xy+y²+1

=(x²-2xy+y²)+1

=(x-y)²+1²

mà \(\left(x-y\right)^2\ge0;1^2>0\)

=> x²-2xy+y²+1 > 0 với mọi x,y \(\in\) R