Cho các số dương a,b thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le\frac{1}{2}\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=\sqrt{a}+\sqrt{b}-\frac{1}{a+b}\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện \(a+b+c\le\frac{3}{2}\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
tích mình đi
làm ơn
rùi mình
tích lại
thanks
Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có :\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}.\frac{1}{\sqrt{b}}+\sqrt{c}.\frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(1+1+1\right)^2=9\)
.Dấu "=" xảy ra khi :\(\frac{a}{\frac{1}{a}}=\frac{b}{\frac{1}{b}}=\frac{c}{\frac{1}{c}}\Leftrightarrow a^2=b^2=c^2\Leftrightarrow a=b=c\)
Mà \(a+b+c\le\frac{3}{2}\)\(\Rightarrow M=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9:\frac{3}{2}=9.\frac{2}{3}=6\)
Vậy Min M = 6 <=> a = b = c
Cho hai số thực dương a và b thay đổi thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
\(|a-2b|\le\frac{1}{\sqrt{a}},|b-2a|\le\frac{1}{\sqrt{b}};\)Tìm giá trị lớn nhất của tích ab.
Cho các số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y \(\le\)1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = \(\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\)
Theo đề ta suy ra \(y\le1-3x\)
\(\Rightarrow\sqrt{xy}\le\sqrt{x\left(1-3x\right)}\)
Ta có \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{x\left(1-3x\right)}}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{x+\left(1-3x\right)}{2}}=\frac{2}{2x}+\frac{2}{-2x+1}\)
\(=2\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{-2x+1}\right)\ge2.\frac{\left(1+1\right)^2}{2x-2x+1}=8\)
Vậy \(A\ge8\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=1-3x=y\\\frac{1}{2x}=\frac{1}{-2x+1}\\3x+y=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=\frac{1}{4}\)
Cho biểu thức \(A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{2}{\sqrt{x}+1}-\frac{2}{x-1}\)
1. Nêu Điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
2. Tính giá trị của biểu thức A khi x=9
3. Khi x thỏa mãn điều kiện xác định . hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B , với B=A (x-1)
cho ba số thực dương a b c thỏa mãn ab+bc+ac\(\le\)1. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P biết:
P=\(\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2-abc}}+\frac{1}{\sqrt{a^2+c^2-abc}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+b^2-abc}}\)
Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn các điều kiện \(\left(a+c\right)\left(b+c\right)=4c^2\). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{a+3c}+\frac{ab}{bc+ca}\)
Bài 2: Cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=0 và \(x^2+y^2+z^2=1\). Tìm GTLN của biểu thức \(P=x^5+y^5+z^5\)
Bài 3: Cho a,b,c dương thỏa mãn \(a+b+c=1.\)Tìm Min
\(P=2020\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)+\frac{1}{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
Bài 4: Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. Tìm GTLN của biểu thức \(P=a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\)
Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: \(P=\text{}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)Giả sử b là số nằm giữa a và c thì \(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc\)\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh: \(b\left(3-b\right)^2\le4\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0\)(đúng với mọi \(b\in[0;3]\))
Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị
Bài 1: Đặt \(a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)\)thì điều kiện giả thiết trở thành \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)
Khi đó \(P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)\(=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)
Có: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)\)
Đặt \(t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2\)(do t > 0)
Lúc đó \(P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)với \(2\le t< 3\)
Vậy \(MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)đạt được khi \(t=\sqrt{6}\)hay (x; y) là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}\)
Ta lại có \(P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1\)(do \(2\le t< 3\))
Vậy \(MaxP=1\)đạt được khi t = 2 hay x = y = 1
3. Áp dụng cô si ta có
\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c=1\)
Lại có:
\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)
⇒ P ≥ \(2020.1+1=2021\)
Vậy Pmin = 2021 khi và chỉ khi a = b = c =1/3
Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a+b+c=1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\)
\(c+ab=\left(a+b+c\right)c+ab=ac+cb+c^2+ab=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
Tương tự : \(a+bc=\left(a+b\right)\left(a+c\right);c+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)
\(P=\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\)
áp dụng bất đẳng tức cauchy :
\(\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}\right)\)
\(\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\)
\(\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}\right)\)
cộng vế theo vế
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{c+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}\right)\)
\(\Leftrightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a+c}{a+c}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{a+b}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\cdot3=\frac{3}{2}\)
dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1/3
Có a+b+c=1 => c=(a+b+c).c=ac+bc+c2
\(\Rightarrow c+ab=ac+bc+c^2+ab=a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)=\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{\frac{a}{c+b}+\frac{b}{c+b}}{2}\)
Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}a+bc=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\\b+ac=\left(b+a\right)\left(b+c\right)\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}}{2}\\\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}=\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\le\frac{\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}}{2}\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}}{2}\)\(=\frac{\frac{a+c}{a+c}+\frac{c+b}{c+b}+\frac{a+b}{a+b}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a+b+c=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\)
tham khảo
https://olm.vn/hoi-dap/detail/106887527253.html
Cho a, b, c là các số dương thay đổi thỏa mãn a+b+c=1. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{a}{\sqrt{1-b+c}+1}+\frac{b}{\sqrt{1-c+a}+1}+\frac{c}{\sqrt{1-a+b}+1}\)
bạn vào đây tham khảo nè
Câu hỏi của Tuấn Anh - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
hơi lằng nhằng 1 chút
\(P=\frac{a}{\sqrt{a+2c}+1}+\frac{b}{\sqrt{b+2a}+1}+\frac{c}{\sqrt{c+2b}+1}\)
áp dụng cô si ta có:
\(\left(\sqrt{a+2c}+1\right)^2\le2\left(a+2c+1\right)=2\left(2a+b+3c\right)\)
tương tự \(\Rightarrow P\ge\frac{a}{\sqrt{2\left(2a+b+3c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{2\left(2b+c+3a\right)}}+\frac{c}{\sqrt{2\left(2c+a+3b\right)}}\)
mà \(\sqrt{2\left(2a+b+3c\right)}\le\frac{2a+b+3c+2}{2}=\frac{4a+3b+5c}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2a}{4a+3b+5c}+\frac{2b}{4b+3c+5a}+\frac{2c}{4c+3a+5b}\)
\(=\frac{2a^2}{4a^2+3ab+5ac}+\frac{2b^2}{4b^2+3bc+5ab}+\frac{2c^2}{4c^2+3ac+5bc}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{2}\)