Ta thấy: \(4n^2+14n+7=\left(n+3\right)\left(4n+2\right)+1\)

Do n là số nguyên dương \(\Rightarrow4n^2+14n+7\)và n+3 nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\left(n+3\right)\left(4n^2+14n+7\right)\)là 1 SCP thì n+3 và \(4n^2+14n+7\)là 1 số chính phương

Do n nguyên dương \(\Rightarrow\left(2n+3\right)^2\le4n^2+14n+7< \left(2n+4\right)^2\)\(\Rightarrow4n^2+14n+7=\left(2n+3\right)^2\Leftrightarrow n=1\)khi đó n+3=4 là 1 scp 

Thử lại với n=1 \(\left(n+3\right)\left(4n^2+14n+7\right)=100\left(tm\right)\)

Vậy n=1

tự túc là hạnh phúc

Lời giải:

Gọi $d=ƯCLN(n+1, 4n^2-2n-5)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; 4n^2-2n-5\vdots d$

$\Rightarrow 4(n+1)^2-(4n^2-2n-5)\vdots d$
$\Rightarrow 10n+9\vdots d$

$\Rightarrow 10(n+1)-1\vdots d$

Mà $n+1\vdots d$ nên $1\vdots d\Rightarrow d=1$

Vậy $n+1, 4n^2-2n-5$ nguyên tố cùng nhau. Để $(n+1)(4n^2-2n-5)$ là scp thì bản thân mỗi số $n+1, 4n^2-2n-5$ là scp.

Đặt $n+1=a^2; 4n^2-2n-5=b^2$

$\Rightarrow 4(a^2-1)^2-2(a^2-1)-5=b^2$

$\Leftrightarrow 4a^4-8a^2+4-2a^2+2-5=b^2$

$\Leftrightarrow 4a^4-10a^2+1=b^2$

$\Leftrightarrow 16a^4-40a^2+4=4b^2$
$\Leftrightarrow (4a^2-5)^2-21=4b^2$

$\Leftrightarrow 21=(4a^2-5)^2-(2b)^2=(4a^2-5-2b)(4a^2-5+2b)$

Đến đây là dạng phương trình tích cơ bản, chỉ cần xét các TH để tìm ra $a,b$

Đặt  \(A=n\left(n+1\right)\left(n+7\right)\left(n+8\right)\)

\(=\left(n^2+8n\right)\left(n^2+8n+7\right)\)   (1)

Đặt  \(t=n^2+8n\)   Vì n > 0 nên t > 0

Vì A là số chính phương đặt A=k²  \(\left(k\in N\right)\)   Vì t>0 => k > 0

(1)   \(\Rightarrow\)  \(t\left(t+7\right)=k^2\)        

\(\Leftrightarrow4t^2+28t-4k^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4t^2+28t+49\right)-4k^2-49=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2t+7\right)^2-\left(2k\right)^2=49\)

\(\Leftrightarrow\left(2t+7-2k\right)\left(2t+7+2k\right)=49\)

Xét các ước của 49 với chú ý rằng  \(2t+7-2k< 2t+7+2k\)  vì k > 0 từ đó dễ dàng tìm được t

Sau đó ta tìm được các giá trị của n.