Gọi ƯCLN(2n+1; 6n+5) là d. Ta có:

2n+1 chia hết cho d => 6n+3 chia hết cho d

6n+5 chia hết cho d

=> 6n+5-(6n+3) chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

Mà 2n+1 chia 2 dư 1

=> d = 1

=> \(\frac{2n+1}{6n+5}\)tối giản (Đpcm)

Gọi ước chung lớn nhất (4n+1;6n+1)=d

->4n+1 chia hết cho d; 6n+1 chia hết cho d

Vì 4n+1 chia hết cho d

->3(4n+1) chia hết cho d

->12n+3 chia hết cho d

Vì 6n+1 chia hết cho d

->2(6n+1) chia hết cho d

->12n+2 chia hết cho d

Xét hiệu:12n+3-(12n+2) chia hết cho d

             12n+3-12n-2 chia hết cho d

                       1 chia hết cho d

->d thuộc Ư(1)

Ư(1)={1;-1}

-> ước chung lớn nhất(4n+1;6n+1)={1;-1}

Vậy với mọi n thuộc N, phân số 4n+1/6n+1 là phân số tối giản.

(VÌ PHẤN SỐ TỐI GIẢN LUÔN CÓ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT LÀ 1 VÀ -1 BẠN Ạ)

Câu 1:

gọi n-1/n-2 là M.

Để M là phân số tối giản thì ƯCLN (n - 1; n - 2) = 1 hay -1

Theo đề bài: M = n−1n−2n−1n−2 (n ∈∈Zℤ; n ≠2≠2)

Gọi d = ƯCLN (n - 1; n - 2) 

=> n - 1 - (n - 2) ⋮⋮d       *n - 1 - (n - 2) = n - 1 - n + 2 = n - n + 2 - 1 = 0 + 2 - 1 = 2 - 1 = 1

=> 1 ⋮⋮d

=> d ∈∈Ư (1)

Ư (1) = {1}

=> d = 1

Mà ngay từ lúc đầu d phải bằng 1 rồi.

Vậy nên với mọi n ∈∈Z và n ≠2≠2thì M là phân số tối giản.

CM:

Để n + 3/n + 4 tối giản <=> ƯCLN(n + 3; n + 4) \(\in\){1; -1}

Gọi ƯCLN(n + 3;n + 4) = d 

=> n + 3 \(⋮\)d ; n + 4 \(⋮\)d

=> (n + 3) - (n + 4) = -1 \(⋮\)d => d \(\in\){1; -1}

=> \(\frac{n+3}{n+4}\)là p/số tối giản \(\forall\)n

Để \(\frac{n+1}{2n+3}\) tối giản <=> ƯCLN(n + 1;2n + 3) \(\in\){1; -1}

Gọi d là ƯCLN(n + 1;2n + 3}

=> n + 1 \(⋮\)d      => 2(n + 1) \(⋮\)d     => 2n + 2 \(⋮\)d

 => 2n + 3 \(⋮\)d

=> (2n + 2) - (2n + 3) = -1 \(⋮\)d => d \(\in\){1; -1}

=> \(\frac{n+1}{2n+3}\)tối giản \(\forall\)n

a) Gọi ƯCLN(n+3,n+4) = d

=> \(\hept{\begin{cases}n+3⋮d\\n+4⋮d\end{cases}}\)=> \(\left(n+4\right)-\left(m+3\right)⋮d\)=> \(n+4-n-3⋮d\)

=> \(1⋮d\)

=> \(d=1\)

=> \(\frac{n+3}{n+4}\)là phân số tối giản

b) Gọi ƯCLN(n + 1,2n + 3) = d

=> \(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}2\left(n+1\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\)

=> \(\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)⋮d\)

=> \(2n+3-2n-2\)

=> \(1⋮d\)

=> \(d=1\)

=>  \(\frac{n+1}{2n+3}\)là phân số tối giản