Cho a,b là số nguyên dương.CMR:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
CÁC BN GIÚP MK VS
Những câu hỏi liên quan
cho a,b,c là các số thực dương.CMR:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\ge\frac{15}{2}\)
Hơi khó :)) mình ms lớp 8
Ta có : \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\)
\(=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{a}{c}.\frac{c}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{c}.\frac{c}{b}}=6\)(AM - GM) (1)
Ta lại có : \(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)(AM - GM)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)}}\)
\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow3+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{9}{2}\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)(2)
Từ (1);(2) \(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\ge6+\frac{3}{2}=\frac{15}{2}\)(đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\ge\frac{3}{\left(\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)}\)sai
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
cho a;b;c là các số thực dương.CMR:\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
Chuẩn hóa \(a+b+c=3\) thì cần c/m
\(\sqrt{\frac{a}{3-a}}+\sqrt{\frac{b}{3-b}}+\sqrt{\frac{c}{3-c}}\ge\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
Ta có BĐT phụ \(\sqrt{\frac{a}{3-a}}\ge\frac{3\sqrt{2}}{8}a+\frac{\sqrt{2}}{8}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\frac{3\left(a-1\right)^2\left(3a-1\right)}{32\left(3-a\right)}}{\sqrt{\frac{a}{3-a}}+\frac{3\sqrt{2}}{8}a+\frac{\sqrt{2}}{8}}\ge0\forall0< a< 3\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\sqrt{\frac{b}{3-b}}\ge\frac{3\sqrt{2}}{8}b+\frac{\sqrt{2}}{8};\sqrt{\frac{c}{3-c}}\ge\frac{3\sqrt{2}}{8}c+\frac{\sqrt{2}}{8}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\frac{3\sqrt{2}}{8}\left(a+b+c\right)+\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot3=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
a) cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác , p là nửa chu vi. CMR \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
b) Cho a,b,c,d là các số dương.CMR \(\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}\ge\frac{a-d}{a+b}\)
a) Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{a+b+c-a-b}=\frac{4}{c}\left(p=\frac{a+b+c}{2}\right)\)
Tương tự rồi cộng theo vế:
\(2VT\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}=2VP\Leftrightarrow VT\ge VP\)
Dấu "=" khi \(a=b=c\)
b)sai đề
Đúng 0
Bình luận (0)
cho a,b,c là các số thực dương.CMR:
\(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}\ge\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)
Giúp mk làm vs ỤwỤ
a) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
b)\(\frac{a^2}{a^4+1}\le\frac{1}{2}\)
c) \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{2}\)
a) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
Đúng 0
Bình luận (0)
tìm các số nguyên a để biểu thức sau có giá trị là số nguyên A=\(\frac{4}{a-1}\)+\(\frac{b}{a-1}\)
các bạn giải giúp mk vs nhé....
\(A=\frac{4}{a-1}+\frac{b}{a-1}=\frac{b+4}{a-1}\)
\(A=\frac{b+4}{a-1}\)
\(A=\frac{a-1+b-a+5}{a-1}\)
\(A=\frac{b-a+5}{a-1}\)
......
Đúng 0
Bình luận (0)
cho a;b;c là các số thực dương.CMR:
\(\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\ge\frac{a+b+c}{5}\)
Cho a + b + c = 2017 và \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}=\frac{1}{2017}\)
Tính A = \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
Mk rất gấp, các bn giúp mk vs!!! Mk sẽ tick cho ai trả lời nhanh và đúng nhất
Ta có :
\(A+3=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+3\)
\(=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{a+c}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)\)
\(=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(=2017.\frac{1}{2017}=1\)
\(\Rightarrow A=1-3=-2\)
Đúng 0
Bình luận (0)
1) BIẾT a,b,c là ba số tự nhiên nguyên tố cùng nhau từng đôi một .Chứng minh ƯCLN( abc ; ab+bc+ca ) 12) chứng minh rằng nếu a,b,c thỏa mãn bất đẳng thức frac{a^2}{a+b}+frac{b^2}{b+c}+frac{c^2}{c+a}gefrac{a^2}{b+c}+frac{b^2}{c+a}+frac{c^2}{a+b}gefrac{a^2}{c+a}+frac{b^2}{a+b}+frac{c^2}{b+c}...thì /a/ /b/ /c/ dấu / / là giá trị tuyệt đối nha mk cần gấp các bạn cố giúp mk
Đọc tiếp
1) BIẾT a,b,c là ba số tự nhiên nguyên tố cùng nhau từng đôi một .Chứng minh ƯCLN( abc ; ab+bc+ca ) = 1
2) chứng minh rằng nếu a,b,c thỏa mãn bất đẳng thức \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a^2}{c+a}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}...\)thì /a/ = /b/ = /c/
dấu / / là giá trị tuyệt đối nha mk cần gấp các bạn cố giúp mk