= 6 nha bạn

bạn giải rõ cho mình với...mình cầu xin bạn đó Nguyễn Thị Hương

Ta Có S = \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}=\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)

Vì mỗi ngoặc sẽ lớn hơn hoặc bằng 2 => s lớn hơn hoặc băng 6 (đpcm)

\(\frac{a^2+c^2}{a^2+b^2}=\frac{c}{b}\Leftrightarrow b\left(a^2+c^2\right)=c\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow a^2b+bc^2=a^2c+b^2c\)

\(\Leftrightarrow a^2b-a^2c=b^2c-bc^2\Leftrightarrow a^2\left(b-c\right)=bc\left(b-c\right)\Leftrightarrow a^2=bc\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{a}\)(đpcm)

Xét hiệu \(S_1-S_2=\frac{a^2-b^2}{a+b}+\frac{b^2-c^2}{b+c}+\frac{c^2-a^2}{c+a}\)

                         \(=\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{\left(c-a\right)\left(c+a\right)}{c+a}\)

                         \(=a-b+b-c+c-a\)

                           \(=0\)

\(\Rightarrow S_1=S_2\)

+) Áp dụng bđt AM-GM ta có:

\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a+b}.\frac{a+b}{4}}=a\)

\(\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{b^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=b\)

\(\frac{c^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge2\sqrt{\frac{c^2}{c+a}.\frac{c+a}{4}}=c\)

Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được:

\(S_1+\frac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\)

\(\Rightarrow S_1\ge\frac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)

dit me may

Svac-xơ:

\(S_1\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)

TRỜI ƠI !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

KHÓ QUÁ TUI KO GIẢI ĐƯỢC

MỚI HỌC CÓ LỚP 6 THUI À

S = a/a+b + b/b+c + c/a+c

S > a/a+b+c + b/a+b+c + c/a+b+c

S > a+b+c/a+b+c

S > 1 (1)

Áp dụng a/b < 1 => a/b < a+m/b+m (a,b,m thuộc N*)

 S = a/a+b + b/b+c + c/a+c

S < a+c/a+b+c + b+a/a+b+c + c+b/a+b+c

S < 2. (a+b+c)/a+b+c

S < 2 (2)

Từ (1) và (2) => 1 < S < 2 => S không là số tự nhiên ( đpcm)

S = a/a+b + b/b+c + c/a+c

S > a/a+b+c + b/a+b+c + c/a+b+c

S > a+b+c/a+b+c

S > 1 (1)

Áp dụng a/b < 1 => a/b < a+m/b+m (a,b,m thuộc N*)

 S = a/a+b + b/b+c + c/a+c

S < a+c/a+b+c + b+a/a+b+c + c+b/a+b+c

S < 2. (a+b+c)/a+b+c

S < 2 (2)

Từ (1) và (2) => 1 < S < 2 => S không là số tự nhiên ( đpcm)

Sửa đề: chứng minh \(S\ge6\)

Ta có: 

\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\left(\frac{a}{b}-2+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}-2+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}-2+\frac{c}{a}\right)+6\)

\(=\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{b}{c}}-\sqrt{\frac{c}{a}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{a}{c}}-\sqrt{\frac{c}{a}}\right)^2+6\ge6\)

\(\Rightarrow\)ĐPCM

Đây nè k cho mình nha:

Ta có \(\frac{a+b}{c}>\frac{a+b}{a+b+c}\)

         \(\frac{b+c}{a}>\frac{b+c}{a+b+c}\)

         \(\frac{a+c}{b}>\frac{a+c}{a+b+c}\)

Suy ra \(S>\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{a+c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Vậy S > 2

Chester Jerry bạn không thấy là bảo chứng minh \(S\ge2\) hả?

Áp dụng bất đẳng thức Min.cop.xki 

\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\) (Chứng minh bằng biến đổi tương đương)

Áp dụng:

\(S=\sqrt{a^2+\frac{1}{b+c}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c+a}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a+b}}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{c+a}}\right)^2}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a+b}}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{c+a}}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{9}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}}\right)^2}\)

Theo Bunhiacopxki: \(\left(1.\sqrt{a+b}+1.\sqrt{b+c}+1.\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)=6\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2}\ge\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{6\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{32}+\frac{81}{12\left(a+b+c\right)}+\frac{81}{12\left(a+b+c\right)}+\frac{31}{32}\left(a+b+c\right)^2\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{32}.\frac{81}{12\left(a+b+c\right)}.\frac{81}{12\left(a+b+c\right)}}+\frac{31}{32}.6^2\)

\(=\frac{153}{4}=\left(\frac{3\sqrt{17}}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow S\ge\frac{3\sqrt{17}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=2\).