Cho biểu thức :M=\(\frac{a+1}{\sqrt{a}}+\frac{a\sqrt{a}-1}{a-\sqrt{a}}+\frac{a^2-a\sqrt{a}+\sqrt{a}+1}{\sqrt{a-a\sqrt{a}}}\)
a>0, a khác 1
a) Chứng minh : M<4
b) Tìm a để N=6/M nhận giá trị nguyên
Cho biểu thức M=\(\left(\frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}\)với a > 0 và a khác 1
a) Rút gọn biểu thức M
b) So sánh giá trị của M với 1
a,Với \(a>0;a\ne1\)
\(M=\left(\frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}\)
\(=\left(\frac{\sqrt{a}-1+a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)^2}\right).\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{a}+1}=\frac{a-1}{a+\sqrt{a}}\)
b, Ta có : \(1=\frac{a+\sqrt{a}}{a+\sqrt{a}}\)mà \(a-1=\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)\)
\(a+\sqrt{a}=\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)\)vì \(\sqrt{a}-1< \sqrt{a}\)
Vậy \(\frac{a-1}{a+\sqrt{a}}< 1\)hay \(M< 1\)
Cho biểu thức
M=\(\frac{a+1}{\sqrt{a}}+\frac{a\sqrt{a}-1}{a-\sqrt{a}}+\frac{a^2-a\sqrt{a}+\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-a\sqrt{a}}\)
a; chứng minh M>4
b; Với những giá trị nào của a thì N=6/M nhận giá trị nguyên
chứng minh câu đẳng thức
1)\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+2\sqrt{b}}-\frac{2b}{b-a}=\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
2)\(\left(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\right)\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\right)^2=1\)
3)\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{2b}{a-b}=1\)(a lớn hơn bằng 0,b lớn hơn bằng 0)
4)\(\left(1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)=1-a\)(a lớn hơn bằng 0,a khác 1)
help me:<<<
1) \(VT=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\frac{2b}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+4b}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)\(=\frac{a+2\sqrt{ab}+b-a+2\sqrt{ab}-b+4b}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{4\sqrt{ab}+4b}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{4\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}=\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=VP\)(ĐPCM)
2) \(VT=\text{[}\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a+b-\sqrt{ab}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}-\sqrt{ab}\text{]}.\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\left(a-b\right)^2}\)
\(=\frac{\left(a+b-\sqrt{ab}-\sqrt{ab}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\left(a-b\right)^2}\)\(=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\left(a-b\right)^2}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}=1=VP\)(ĐPCM)
4) \(VT=\left(1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\)\(=\left(1+\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-1}\right)\)
\(=\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1-\sqrt{a}\right)=1-a=VP\)(ĐPCM)
Cho biểu thức \(A=\left(\frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}\)( với a>0 và a≠1 )
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Chứng minh rằng A<1 với mọi a>0 và a≠1.
c/ Tìm a để A= \(\frac{1}{2}\)
a)
\(A=\left(\frac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right):\frac{\sqrt{a}+1}{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}\\ =\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\cdot\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{a}+1}\\ =\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}\)
b) Ta có: \(A=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a}}=1-\frac{1}{\sqrt{a}}\)
Với mọi a>0 và a≠1 ta có \(\sqrt{a}>0\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}>0\)
\(\Rightarrow A=1-\frac{1}{\sqrt{a}}< 1\left(đpcm\right)\)
c)
\(A=1-\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\sqrt{a}=2\Leftrightarrow a=4\left(tm\right)\)
Vậy.......
Cho biểu thức: \(P=1+\left(\frac{2a+\sqrt{a}-1}{1-a}-\frac{2a\sqrt{a}-\sqrt{a}+a}{1-a\sqrt{a}}\right).\frac{a-\sqrt{a}}{2\sqrt{a}-1}\)
a) Rút gọn P
b) Cho \(P=\frac{\sqrt{6}}{1+\sqrt{6}}\). Tìm giá trị của a. Chứng minh rằng P > \(\frac{2}{3}\)
1.Cho biểu thức A= (\(\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{a-b}}\)+\(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a+b}}\)):(1+\(\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-b}}\))
a/ rút gọn A
b/Tìm b biết \(|A|\)=A
2.Chứng minh giá trị biểu thức C không phụ thuộc vào x,y:
C=(\(\frac{1}{\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}}\)_\(\frac{1}{\frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}}\))-\(\frac{x+y}{2\sqrt{x}\sqrt{y}}\)-\(\frac{\sqrt{\left(x+y\right)^4}}{4xy}\) (x>0, y>0)
3.Cho B=(\(\sqrt{a}\)+\(\frac{c-\sqrt{ac}}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}\)).\(\frac{1}{\frac{a}{\sqrt{ac}+c}+\frac{c}{\sqrt{ac}-a}-\frac{a+c}{\sqrt{ac}}}\)
a/ rút gọn B
b/ Với giá trị nào của a và c để B>0 và B<0
4.Cho D=(\(\sqrt{m}+\frac{2mn}{1+n^2}+\sqrt{m}-\frac{2mn}{1+n^2}\))\(\sqrt{\frac{1}{n^2}}\)
a. rút gọn D
b.tìm giá trị D với m=\(\sqrt{56+24\sqrt{5}}\)
c.tìm giá trị nhỏ nhất của D
1 Cho biểu thức
M=(\(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\) + \(\frac{1-\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\)) :( \(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\)+ \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\)+\(\frac{\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}\))
a. Rút gọn biểu thức M
b.Tính giá trị biểu thức M khi a=\(1\frac{\sqrt{3}}{2}\)
c.So sánh M với 2
Cho biểu thức:
\(M=\frac{a+1}{\sqrt{a}}+\frac{a\sqrt{a-1}}{a-\sqrt{a}}+\frac{a^2-a\sqrt{a+\sqrt{a-1}}}{\sqrt{a-a\sqrt{a}}}\)
với a > 0, a ≠ 1.
a) Chứng minh rằng M > 4.
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N = 6/M nhận giá trị nguyên?
Cho biểu thức \(M=\frac{a+1}{\sqrt{a}}+\frac{a\sqrt{a}-1}{a-\sqrt{a}}+\frac{a^2-a\sqrt{a}+\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-a\sqrt{a}}\)
Với những giá trị nào của a thì biểu thức \(N=\frac{6}{M}\) nhận giá trị nguyên?
Tính được
\(M=\frac{6\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}\)
Với mọi a>0; \(a\ne1,\)ta có: \(\frac{6\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}>0\Leftrightarrow M>0\left(1\right)\)
Lại có:
\(a-\sqrt{a}+1>0\forall a>0\)
\(\Leftrightarrow2a+4\sqrt{a}+2>6\sqrt{a}\)\(\Rightarrow2>\frac{6\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}\Leftrightarrow M< 2\)(2)
Từ (1) và (2) => M đạt giá trị nguyên khi M=1
Bạn tự tìm a nha...