a, 3 đường trung tuyến cách nhau tại trọng tâm, khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài trung tuyến đi qua đỉnh đó

Từ định lí trên ta có \(\left\{{}\begin{matrix}m_a=\dfrac{2}{3}GA\\m_b=\dfrac{2}{3}GB\\m_c=\dfrac{2}{3}GC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m_a^2=\dfrac{4}{9}GA^2\\m_b^2=\dfrac{4}{9}GB^2\\m_c^2=\dfrac{4}{9}GB^2\end{matrix}\right.\)

Đặt D = GA² + GB² + GC² 

⇒ D = m_a² + m_b² + m_c² 

⇒ D = \(\dfrac{2\left(a^2+b^2\right)-c^2+2\left(b^2+c^2\right)-a^2+2\left(a^2+c^2\right)-b^2}{4}\)

⇒ D = \(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\)

b, cotA = \(\dfrac{cosA}{sinA}=\dfrac{\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{\dfrac{a}{2R}}=R.\dfrac{b^2+c^2-a^2}{abc}\)

Tương tự ta có

cotB = \(R.\dfrac{a^2+c^2-b^2}{abc}\)

cotC = \(R.\dfrac{a^2+b^2-c^2}{abc}\)

Vậy cotA + cotB + cotC = \(R.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}\) (1)

Theo công thức tính diện tích

S = \(\dfrac{abc}{4R}\) ⇒ abc = 4 . S . R

Thế vào (1) ta có

cotA + cotB + cotC = \(R.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4.S.R}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S}\)

a, \(\overrightarrow{GA}=-\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(\Rightarrow GA^2=\dfrac{1}{9}\left(AB^2+AC^2+2AB.AC.cosA\right)\)

\(=\dfrac{1}{9}\left(c^2+b^2+2bc.cosA\right)\)

\(=\dfrac{1}{9}\left(c^2+b^2+b^2+c^2-a^2\right)=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{9}\)

Tương tự \(GB^2=\dfrac{2a^2+2c^2-b^2}{9}\); \(GC^2=\dfrac{2a^2+2b^2-c^2}{9}\)

\(\Rightarrow GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\)

b, \(cotA+cotB+cotC=\dfrac{cosA}{sinA}+\dfrac{cosB}{sinB}+\dfrac{cosC}{sinC}\)

\(=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bcsinA}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2acsinB}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2absinC}\)

\(=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bcsinA}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac.\dfrac{b}{a}sinA}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab.\dfrac{c}{a}sinA}\)

\(=\dfrac{a}{2sinA}\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{abc}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{abc}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{abc}\right)\)

\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2bcsinA}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4.S}\)