độ dài 3 cạnh của \(\Delta ABC\)là a,b,c thỏa mãn điều kiện : \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\). CHỨNG MINH : TAM GIÁC ABC ĐỀU
Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh a, b, c thỏa mãn \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{abc}=9\)
Chứng minh rằng tam giác ABC đều
a=b=c=1 suy ra Tam giác ABC là tam giác đều vì có độ dài 3 canh = nhau .
ta áp dụng (a+b+c)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)) >=9
dễ chứng minh bdt phụ này
rùi từ đây suy ra 3(a-b)(b-c)(c-a) = 0 => a=b=c (1)
mà lên bđt phụ trên thì xảy ra khi a=b=c (1)
từ (1) , (2) , ta suy ra a=b=c hay đpcm
vì k chặt chẽ lắm nên thông cảm
độ dài 3 cạnh của tam giác ABC là a,b,c .Thỏa mãn điều kiện: (a-b)2 = (b-c)2. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện:\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)< 10\).Chứng minh rằng a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Ta có : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(3+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)< 10\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}< 7\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{b}+\frac{b+a}{c}+\frac{c+b}{a}< 7\)
Không giảm tổng quá .Giả sử a là cạnh lớn nhất .Giả b + c < a => 0 < \(\frac{b+c}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{a+c}{b}+\frac{b+a}{c}+\frac{c+b}{a}>\frac{2c+b}{b}+\frac{2b+c}{c}+\frac{b+c}{a}\)( không chắc lắm )
= \(\frac{2c}{b}+\frac{2b}{c}+\frac{b+c}{a}+2\)
=\(\frac{2\left(b+c\right)^2}{bc}+\frac{b+c}{a}-2>7\left(VL\right)\)
=>b+ c > a => a ; b ; c là 3 cạnh tam giác ( đpcm )
Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác ABC ,biết \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=8\).Chứng minh rằng tam giác ABC đều
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là: a,b,c. Thỏa mãn điều kiện a3+b3+c3= 3abc. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều
thực hiện trừ 2 vế ta (vế trái cho vế phải) ta được
(a+b+c).(a^2+b^2+c^2 -ab-bc-ca)=0
nên hoặc a+b+c=0 hoặc nhân tử còn lại bằng 0
mà a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác nên a+b+c>0
vậy a^2+b^2+c^2 -ab-bc-bc-ca=0
đặt đa thức đó bằng A
A=0 nên 2xA=0
phân tích thành hằng đẳng thức ta có (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
nên a=b=c vậy là tam giác đều
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và thỏa mãn: \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)
Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều.
\(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(c+b\right)\left(a+c\right)}{abc}=8\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2\left(c+b\right)^2\left(a+c\right)^2}{a^2b^2c^2}=64\)
Ta có
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(c+b\right)^2\ge4cb;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)
\(\frac{\left(a+b\right)^2\left(c+b\right)^2\left(a+c\right)^2}{a^2b^2c^2}\ge64\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)=> Đó là tam giác đều
Ta có: \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{a+c}{c}=8\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=8\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=8abc\)
\(\Rightarrow a^2b+a^2c+b^2c+ab^2+ac^2+bc^2+2abc=8abc\)
\(\Rightarrow a^2b+a^2c+b^2c+ab^2+ac^2+bc^2-6abc=0\)
\(\Rightarrow\left(ab^2-2abc+ac^2\right)+\left(a^2b-2abc+bc^2\right)+\left(a^2c-2abc+b^2c\right)=0\)
\(\Rightarrow a\left(b^2-2bc+c^2\right)+b\left(a^2-2ac+c^2\right)+c\left(a^2-2ab+b^2\right)=0\)
\(\Rightarrow a\left(b-c\right)^2+b\left(a-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2=0\)(1)
Vì a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nên a, b, c > 0 (2)
Do đó \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a\left(b-c\right)^2\ge0\\b\left(a-c\right)^2\ge0\\c\left(a-b\right)^2\ge0\end{cases}}\)(3)
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\left(b-c\right)^2=\left(a-c\right)^2=\left(a-b\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left(b-c\right)=\left(a-c\right)=\left(a-b\right)=0\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
Vậy a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác đều
Chứng minh tam giác ABC thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=b^2+c^2-bc\\b^2=a^2+c^2-ac\end{matrix}\right.\)
thì là tam giác đều
\(a^2=b^2+c^2-bc\Rightarrow bc=b^2+c^2-a^2\)
\(\Rightarrow cosA=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{bc}{2bc}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow A=60^0\)
Tương tự: \(ac=a^2+c^2-b^2\Rightarrow cosB=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow B=60^0\)
\(\Rightarrow C=180^0-\left(A+B\right)=60^0\)
\(\Rightarrow A=B=C=60^0\Rightarrow\Delta ABC\) đều
Cho tam giác ABC có a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác, trong đó a lớn nhất. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông khi và chỉ khi \(\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}\right)\left(\sqrt{a+c}+\sqrt{a-c}\right)=\left(a+b+c\right)\sqrt{2}\)
bạn ơi giúp mình với C/M: (ax^2 - bx^2)^4 + (2ab+bx^2)^4 + (2ab+a^2)^4 = 2(a^2+ab+b^2)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện \(a+b+c+2\sqrt{abc}=2\). Chứng minh rằng:
\(\sqrt{a\left(2-b\right)\left(2-c\right)}+\sqrt{b\left(2-c\right)\left(2-a\right)}+\sqrt{c\left(2-a\right)\left(2-b\right)}=\sqrt{8}+\sqrt{abc}\)