Ta có:\(\frac{8n+21}{4n+3}=\frac{2\left(4n+3\right)+15}{4n+3}=2+\frac{15}{4n+3}\)

Để \(\frac{8n+21}{4n+3}\)là số nguyên thì \(\frac{15}{4n+3}\)là số nguyên

vì n là số tự nhiên => 4n+3 là số tự nhiên

15 chia hết cho 4n+3 => 4n+3\(\inƯ\left(15\right)=\left\{1;3;5;15\right\}\)

Ta có bảng

Vậy n={0;3} thì \(\frac{8n+21}{4n+3}\)là số nguyên

\(\frac{8n+21}{4n+3}\)là số nguyên

ĐKXĐ: n > 0

Ta có : \(\frac{8n+21}{4n+3}=\frac{2\left(4n+3\right)+15}{4n+3}=2+\frac{15}{4n+3}\)

Để \(\frac{8n+21}{4n+3}\)là số nguyên => \(\frac{15}{4n+3}\)là số nguyên

=> \(15⋮4n+3\)( n > 0 )

=> \(4n+3\inƯ\left(15\right)=\left\{1;3;5;15\right\}\)

Ta có bảng sau:

Vì n > 0 => n thuộc { 0; 3}

Gọi d là ước chung nguyên tố của 8n+193 và 4n+3(d\(\in\)N)

=>\(\left\{\begin{matrix}8n+193⋮d\\4n+3⋮d\end{matrix}\right.\) =>\(\left\{\begin{matrix}8n+193⋮d\\8n+6⋮d\end{matrix}\right.\) =>187\(⋮\) d

=>d\(\in\)nguyên tố của 187

=> d\(\in\left\{1;11;17\right\}\)

để (8n+193;4n+3)=1=> d= 1

=> d\(\ne\)11 và 17

=> \(\left\{\begin{matrix}4n+3⋮̸11\\4n+3⋮̸17\end{matrix}\right.\) =>4n-3-11 ko chia hết cho 11 và 4n-3-51ko chia hết cho 17

=>\(\left\{\begin{matrix}4n-8⋮̸11\\4n-48⋮̸17\end{matrix}\right.\)=>\(\left\{\begin{matrix}4\left(n-2\right)⋮̸11\\4\left(n-12\right)⋮̸17\end{matrix}\right.\) =>\(\left\{\begin{matrix}n-2⋮̸11\\n-12⋮̸17\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{\begin{matrix}n-2\ne11k\\n-12\ne17k\end{matrix}\right.\)=>\(\left\{\begin{matrix}n\ne11k+2\\n\ne17k+12\end{matrix}\right.\)

Vậy n\(\ne\)11k+2 và n\(\ne\)17k+12

a, \(A=\frac{2\left(4n+3\right)+187}{4n+3}=2+\frac{187}{4n+3}\)

Để A nguyên => \(\frac{187}{4n+3}\inℤ\)

=> \(4n+3\inƯ\left(187\right)\)

Đến đây bạn tự giải tiếp nha.

b, Phân số tối giản khi ƯCLN của tử và mẫu là 1. 

=> \(A=2+\frac{187}{4n+3}\) tối giản khi \(\left(4n+3\right)\notinƯ\left(187\right)\).

\(a)\) Ta có : 

\(A=\frac{8n+193}{4n+3}=\frac{8n+6}{4n+3}+\frac{187}{4n+3}=\frac{2\left(4n+3\right)}{4n+3}+\frac{187}{4n+3}=2+\frac{187}{4n+3}\)

Để A là số tự nhiên thì \(\frac{187}{4n+3}\) cũng là số tự nhiên 

\(\Rightarrow\)\(187⋮\left(4n+3\right)\)

\(\Rightarrow\)\(\left(4n+3\right)\inƯ\left(187\right)\)

Mà \(Ư\left(187\right)=\left\{1;-1;11;-11;17;-17;187;-187\right\}\) ( mk ko biết còn bao nhiêu ước nữa nếu còn thì bạn tự làm nha mk chỉ phân k bấy nhiêu thui )

\(\Rightarrow\)\(\left(4n+3\right)\in\left\{1;11;17;187\right\}\) ( vì 4n + 3 dương ) 

Suy ra : 

\(n\in\left\{2;46\right\}\)

Vậy 

1 nha pn >.< kb mk nha <3

a)n=2 suy ra M=19

n=3,5 suy ra M=13