a) Từ giả thiết : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\text{=}\dfrac{1}{c}\)

\(\Rightarrow2ab\text{=}2bc+2ca\)

\(\Rightarrow2ab-2bc-2ca\text{=}0\)

Ta xét : \(\left(a+b-c\right)^2\text{=}a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\)

\(\text{=}a^2+b^2+c^2\)

Do đó : \(A\text{=}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\text{=}\sqrt{\left(a+b-c\right)^2}\)

\(\Rightarrow A\text{=}a+b-c\)

Vì a;b;c là các số hữu tỉ suy ra : đpcm

b) Đặt : \(a\text{=}\dfrac{1}{x-y};b\text{=}\dfrac{1}{y-x};c\text{=}\dfrac{1}{z-x}\)

Do đó : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\text{=}\dfrac{1}{c}\)

Ta có : \(B\text{=}\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}\)

Từ đây ta thấy giống phần a nên :

\(B\text{=}a+b-c\)

\(B\text{=}\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}-\dfrac{1}{z-x}\)

Suy ra : đpcm.

Mình bổ sung đề phần b cần phải có điều kiện của x;y;z nha bạn.

Đặt \(a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}\),rồi thya vào dễ rồi!

Xét vế trái, ta có:  \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{ab+bc+ca}{ab}+\frac{ab+bc+ca}{bc}+\frac{ab+bc+ca}{ca}\)(Do theo giả thiết thì ab + bc + bc = 1)

\(=\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)+3\)

Khi đó, ta quy BĐT cần chứng minh về: \(\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)\)\(\ge\sqrt{\frac{1}{a^2}+1}+\sqrt{\frac{1}{b^2}+1}+\sqrt{\frac{1}{c^2}+1}\)\(=\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}+\frac{\sqrt{b^2+1}}{b}+\frac{\sqrt{c^2+1}}{c}\)

Theo BĐT Cauchy cho 2 số dương, ta có:

\(\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}=\frac{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{a}=\frac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{a}\)\(\le\frac{\frac{a+b+a+c}{2}}{a}=\frac{2a+b+c}{2a}\)(1)

Tương tự ta có: \(\frac{\sqrt{b^2+1}}{b}\le\frac{2b+c+a}{2b}\)(2); \(\frac{\sqrt{c^2+1}}{c}\le\frac{2c+a+b}{2c}\)(3)

Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được:

\(\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}+\frac{\sqrt{b^2+1}}{b}+\frac{\sqrt{c^2+1}}{c}\)\(\le\frac{2a+b+c}{2a}+\frac{2b+c+a}{2b}+\frac{2c+a+b}{2c}\)

\(=3+\frac{1}{2}\left[\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)\right]\)

Đến đây, ta cần chứng minh \(\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)\)\(\ge3+\frac{1}{2}\left[\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left[\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)\right]\ge3\)(Điều này hiển nhiên đúng vì theo BĐT Cauchy, ta có:

\(\frac{1}{2}\left[\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)\right]\)\(\ge\frac{1}{2}.6\sqrt[6]{\frac{a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}}=3\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Ta có: 
A=1/3 - 2/3^2+3/3^3 - 4/3^4+ ... - 100/3^100 
=>3A=1 -2/3 +3/3^2 - 4/3^3+ ... - 100/3^99 
=>4A=A+3A=1-1/3+1/3^2-1/3^3+...-1/3^99 - 100/3^100 
=>12A=3.4A=3-1+1/3-1/3^2+...-1/3^98 - 100/3^99 

=>16A=12A+4A=3-1/3^99-100/3^99-100/3^1... 
<=>16A=3-101/3^99-100/3^100 
<=>A=3/16-(101/3^99+100/3^100)/16 < 3/16 
Suy ra A<3/16

rắc rối quá bạn ạ

đúng rùi nhưng cô lại chữa rùi