Cho điểm P nằm trong tam giác ABC, đường thẳng đi qua P cắt AB,AC lần lượt tại M,N. Chứng minh
\(S_{ABC}\ge8\sqrt{S_{BPM}.S_{CPN}}\)
Cho điểm P nằm trong tam giác ABC. Một đường thẳng qua P cắt AB,AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng:
\(S_{ABC}\ge8\sqrt{S_{BMP}.S_{CNP}}\)
Cho tam giác ABC và một điểm H nằm trong tam giác. Qua H kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại B' và C'.
Chứng minh \(S_{ABC}>S_{AB'C'}.\)
Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC), đường cao AD. Gọi M,N theo thứ tự là điểm đối xứng của D qua AB, AC. Đoạn thẳng MD cắt AB tại E, ND cắt AC tại F, MN cắt AB,AC lần lượt tại I, K.
Chứng minh : \(S_{AEF}=S_{ABC}.sin^2B.sin^2C\)
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Đường thẳng d đi qua G cắt AB , AC lần lượt tại M,N
CMR: \(S_{\frac{ABC}{S_{AMN}}\le\frac{9}{4}}\)
Qua 2 điểm B và C kẻ đường thẳng song song với đường thẳng d cắt tia AG lần lượt tại E và F
Gọi AI là trung tuyến của \(\Delta\)ABC
Theo ĐL Thales ta có các tỉ số: \(\frac{AB}{AM}=\frac{AE}{AG};\frac{AC}{AN}=\frac{AF}{AG}\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{AE+AF}{AG}=\frac{2AE+IE+IF}{AG}\)
Dễ thấy \(\Delta\)BEI=\(\Delta\)CFI (g.c.g) => IE = IF (2 cạnh tương ứng) => IE + IF = 2.IE
\(\Rightarrow\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{2AE+2IE}{AG}=\frac{2AI}{AG}=\frac{3AG}{AG}=3\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}\right)^2=9\ge4.\frac{AB.AC}{AM.AN}\)(BĐT Cauchy)
\(\Leftrightarrow\frac{AB.AC}{AM.AN}\le\frac{9}{4}\Leftrightarrow AM.AN\ge\frac{4.AB.AC}{9}\)
\(\Rightarrow S_{AMN}\ge\frac{4}{9}.S_{ABC}\Leftrightarrow\frac{S_{ABC}}{S_{AMN}}\le\frac{9}{4}\)(đpcm).
Đẳng thức xảy ra <=> \(\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}\)<=> MN // BC <=> d // BC.
ai fan one piece điểm danh cái
Trên cạnh AC của tam giác ABC lấy điểm M bất kỳ. Qua M kẻ đường thẳng song song vối BC cất AB tại N , và đường thẳng song song vối AB cắt BC tại P . Chứng minh
\(\left(S_{BNP}\right)^2=S_{AMN}.S_{CMP}\)
Gọi PH và NF là 2 đường cao của \(\Delta\)BNP; CK và AE lần lượt là đường cao của \(\Delta\)CMP và \(\Delta\)AMN
Xét tứ giác BNMP có: BN // MP; MN // BP => Tứ giác BNMP là hình bình hành
=> MP = BN; MN = BP
Ta có: \(S_{CMP}=\frac{CK.MP}{2};S_{BNP}=\frac{PH.BN}{2}\Rightarrow\frac{S_{CMP}}{S_{BNP}}=\frac{CK}{PH}\)(Do MP = BN) (1)
MP // BN => ^MPC = ^NBC (Đồng vị) Hay ^KPC = ^HBP.
Xét \(\Delta\)CKP và \(\Delta\)PHB có: ^CKP = ^PHB (=900); ^KPC = ^HBP
=> \(\Delta\)CKP ~ \(\Delta\)PHB (g.g)\(\Rightarrow\frac{CK}{PH}=\frac{CP}{PB}\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{S_{CMP}}{S_{BNP}}=\frac{CP}{PB}\). Mà \(\frac{CP}{PB}=\frac{CM}{MA}\)(ĐL Thales) \(\Rightarrow\frac{S_{CMP}}{S_{BNP}}=\frac{CM}{MA}\)(*)
Tương tự: \(\frac{S_{BNP}}{S_{AMN}}=\frac{NF}{AE}\). \(\Delta\)AEN ~ \(\Delta\)NFB (g.g) => \(\frac{NF}{AE}=\frac{BN}{NA}\)
\(\Rightarrow\frac{S_{BNP}}{S_{AMN}}=\frac{BN}{NA}=\frac{CM}{MA}\)(ĐL Thales) (**)
Từ (*) và (**) suy ra \(\frac{S_{CMP}}{S_{BNP}}=\frac{S_{BNP}}{S_{AMN}}\Rightarrow\left(S_{BNP}\right)^2=S_{AMN}.S_{CMP}\) (đpcm).
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. đường thẳng d đi qua G cắt AB,AC lần lượt tại M,N
CMR: \(S_{ABC}:S_{AMN}\le\frac{9}{4}\)
(Câu này rõ hơn câu trước nhé mọi người)
Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Qua M kẻ đường thẳng DE, IJ, FG tương ứng song song với các cạnh BC, CA, AB (G, I thuộc BC; E, F thuộc CA; D, I thuộc AB). Chứng minh: \(S_{AIMF}+S_{BGMD}+S_{CEMJ}\le\dfrac{2}{3}S_{ABC}\)
Cho tam giác ABC , D là điểm thay đổi nằm giữa A và B. kẻ đường thẳng qua D song song với BC cắt AC tại E.
a, chứng minh rằng \(\frac{S_{BDE}}{S_{ABC}}=\frac{BD.AD}{AB^2}\)
Bài 1: Cho tứ giác ABCD. Trên AB, CD lần lượt lấy M, N, P, Q sao cho AM= MN= NB, CP= PQ= QD. Chứng minh rằng \(S_{MNPQ}=\frac{1}{3}S_{ABCD}.\)
Bài 2: Cho tam giác ABC. Trên một nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, dựng các hình bình hành BCEF, ACKL, ABMN sao cho E, F lần lượt nằm trên KL, MN. Chứng minh rằng \(S_{BCEF}=S_{ACKL}+S_{ABMN}.\)
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. P là điểm bất kì nằm trong tứ giác ABCD sao cho \(S_{APB}+S_{CPD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}.\)Gọi M,N lần lượt là trung điểm AC, BD. Chứng minh rằng P, M, N thẳng hàng.
Giúp mình với! Mình cần gấp.
Bai 1
Bo de : \(\Delta ABC\) trung tuyen AD
\(\Rightarrow S_{ADB}=S_{ADC}\)
cai nay ban tu chung minh nha
Ap dung bo de va bai nay => \(S_{MNPQ}=S_{MQP}+S_{MNP}=\frac{1}{3}S_{MDC}+\frac{1}{3}S_{ABP}\)
ta phai chung minh \(S_{MDC}+S_{ABP}=S_{ABCD}\)
That vay co \(S_{AMP}=S_{AMD},S_{MBP}=S_{MBC}\)
=> \(S_{ABP}+S_{MDC}=S_{ADM}+S_{MDC}+S_{MBC}=S_{ABCD}\)
=> dpcm
Hình như sai ở dòng thứ 2 từ dưới lên trên ấy
dung toi do ban chac ban ve hinh khac mik nen chac nhin khong giong thoi chu mik kiem tra lai roi do