a) \(9=6+3=6+\sqrt{9}\)

\(6+2\sqrt{2}=6+\sqrt{8}\)

\(\sqrt{8}< \sqrt{9}\) nên \(6+\sqrt{8}=6+2\sqrt{2}< 6+\sqrt{9}=9\)

b) \(\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2=5+2\sqrt{6}=5+\sqrt{24}\)

\(3^2=9=5+4=5+\sqrt{16}\)

\(\sqrt{16}< \sqrt{24}\Rightarrow3^2< \left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2\Rightarrow3< \sqrt{2}+\sqrt{3}\)

c) \(9+4\sqrt{5}=\left(2+\sqrt{5}\right)^2\)

\(16=\left(2+2\right)^2=\left(2+\sqrt{4}\right)^2\)

\(\sqrt{4}< \sqrt{5}\Rightarrow2+\sqrt{4}< 2+\sqrt{5}\Rightarrow\left(2+\sqrt{4}\right)^2=16< \left(2+\sqrt{5}\right)^2=9+4\sqrt{5}\)

d) \(\left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right)^2=14-2\sqrt{33}=14-\sqrt{132}\)

\(2^2=14-10=14-\sqrt{100}\)

\(\sqrt{100}< \sqrt{132}\Leftrightarrow-\sqrt{100}>-\sqrt{132}\Leftrightarrow14-\sqrt{100}>14-\sqrt{132}\)

\(\Rightarrow2>\sqrt{11}-\sqrt{3}\)

2  +  3  và 3

Ta có: 2 + 3 2 = 2 2 . 3 2 =2.3=6

2 2 =4

Vì 6 > 4 nên 2 . 3 2   >   2 2

Suy ra:  2 . 3  > 2 ⇒ 2.  2 . 3  > 2.2 ⇒ 5 + 2.  2 . 3  > 4 + 5

⇒ 5 + 2.  2 . 3  > 9 ⇒ ( √2 + √3)2 > 9

⇒ 2 + 3 2 > 3 2

Vậy  2  +  3  > 3

2 + 3  và  10

Ta có: 2 + 3 2 = 2 + 2 6 + 3 = 5 + 2 6

10 2  = 10 = 5 + 5

So sánh 26 và 5:

Ta có: 2 6 2 = 2 2 . 6 2  = 4.6 = 24

5 2  = 25

Vì 2 6 2 < 5 2  nên 2 6 < 5

Vậy 5 + 2 6  < 5 + 5 ⇒ 2 + 3 2 < 10 2  ⇒  2 + 3 <  10

11  -  3  và 2

Vì  11  >  3  nên  11  -  3  > 0

Ta có: 11 - 3 2  = 11 - 2 11 . 3  + 3 = 14 - 2 11 . 3

2 2  = 4 = 14 – 10

So sánh 10 và 2 11 . 3  hay so sánh giữa 5 và  11 . 3

Ta có:  5 2  = 25

11 . 3 2 = 11 2 . 3 2  = 11.3 = 33

Vì 25 < 33 nên 5 2 < 11 . 3 2

Suy ra:  5 < 11 . 3 2

Suy ra: 14 – 10 > 14 - 2 11 . 3  ⇒ 11 - 3 2 < 2 2

Vậy  11  -  3  < 2

3 + 2  và  2 + 6

Ta có:  3 + 2 2  = 3 + 4 3 + 4 = 7 + 4 3

2 + 6 2  = 2 + 2 12 + 6 = 8 + 2 4 . 3 ) = 8 + 2. 4 . 3 = 8 + 4 3

Vì 7 + 4 3  < 8 + 4 3  nên  3 + 2 2  <  2 + 6 2

Vậy  3 + 2  <  2 + 6

9 + 4 5  và 16

So sánh 4 5  và 5

Ta có: 16 > 5 ⇒  16  >  5  ⇒ 4 >  5

Vì  5  > 0 nên 4.  5  >  5 . 5  ⇒ 4 5  > 5 ⇒ 9 + 4 5  > 5 + 9

Vậy 9 + 4 5  > 16

Ta có: 4 > 3 ⇒  4  >  3  ⇒ 2 >  3

Suy ra: 2 – 1 >  3  – 1

Vậy 1 > 3  – 1

Ta có: 11 < 16 ⇒  11  <  16  ⇒  11  < 4

Suy ra: -3. 11  > -3.4

Vậy -3 11  > -12

Ta có: 1 < 2 ⇒  1  <  2  ⇒ 1 <  2

Suy ra: 1 + 1 <  2  + 1

Vậy 2 <  2  + 1