Cho x , y , z > 0 và x + y + x \(\ge\)4 . TÌm giá trị nhỏ nhất của
\(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
B=\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)biết x,y,z>0 và x+y+z=4
\(B=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
Áp dụng BĐT cô si:
\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=x\)
CMTT: \(\frac{y^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge y\)
\(\frac{z^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge z\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+z}+\frac{x+y}{4}+\frac{y+z}{4}+\frac{x+z}{4}\ge x+y+z\)
\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+z}\ge4-\frac{2.\left(x+y+z\right)}{4}=4-2=2\)
\(B\ge2\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{4}{3}\)
sờ vác xơ
\(B=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}\)
\(=2\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{4}{3}\)
Cho x,y,z > 0 và \(x^2\ge y^2+z^2\)
Tìm Giá trị nhỏ nhất của \(A=x^2\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\frac{x^2+y^2}{x^2}\)
à đúng rồi mình xin lõi \(A=x^2\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{y^2+z^2}{x^2}\right)\)
Cho x,y,z>0 và x+y+z=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A=\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) ta tính được \(A=\frac{1}{4}\)
Ta sẽ chứng minh nó là GTNN của A
Thật vậy áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(A=Σ\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)
Do đó ta cần phải chứng minh \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{x+y+z}{4}\)
\(\Leftrightarrow4\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\left(x+y+z\right)Σ\left(2x^3+x^2y+x^2z\right)\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(2x^4-3x^3y-3x^3z+6x^2y^2-2x^2yz\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(2x^4-3x^3y-3x^3z+4x^2y^2\right)+Σ\left(2x^2y^2-2x^2yz\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x^4-3x^3y+4x^2y^2-3xy^3+y^4\right)+Σ\left(x^2z^2-2z^2xy+y^2z^2\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x-y\right)^2\left(x^2-xy+y^2\right)+Σz^2\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)
Vậy \(x=y=z=\frac{1}{3}\) thì \(A_{Min}=\frac{1}{4}\)
Cho các số thực x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =\(\frac{3+x^2}{y+z}+\frac{3+y^2}{x+z}+\frac{3+z^2}{x+y}\)
1, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : \(M=\frac{y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-4}}{xy}\)
2, Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn : \(2x^2+y^2+4x=4+2xy\)
3, Cho x,y,z >0 . Chứng minh : \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)
1) đặt \(\sqrt{x-1}=a\left(a\ge0\right);\sqrt{y-4}=b\left(b\ge0;\right)\)
M = \(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+4}\); a2 +1 \(\ge2a;b^2+4\ge4b\)=> M \(\le\frac{a}{2a}+\frac{b}{4b}=\frac{3}{4}\)
M đạt GTLN khi a=1, b=2 hay x=2; y= 8
2) <=> (x-y)2 + (x+2)2 =8 => (x+2)2\(\le8< =>\left|x+2\right|\le\sqrt{8}\approx2< =>-2\le x+2\le2< =>\)\(-4\le x\le0\)
x=-4 => (y+4)2 =4 <=> y = -2;y = -6
x=-3 => (y+3)2 = 7 (vô nghiệm); x=-1 => (y+1)2 =7 (vô nghiệm)
x=0 => y2 = 4 => y =2; =-2
vậy có các nghiệm (x;y) = (-4;-2); (-4;-6); (0;-2); (0;2)
3) \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}\ge2\frac{x}{z}\left(a^2+b^2\ge2ab\right)\); tương tự với các số còn lại ta được điều phải chứng minh
3) sửa lại
áp dụng a2+b2+c2 \(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2}{3}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)(vì \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz}{yzx}}=3\))
dấu '=' khi x=y=z
cho các số thực x,y,z thỏa mãn x,y,z\(\ge\)1 và \(3\left(x+y+z\right)=x^2+y^2+z^2+2xy\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=\(\frac{x^2}{\left(x+y\right)^2+x}+\frac{x}{z^2+x}\)
Vì \(x\ge1\Rightarrow x^2\ge x\)
Từ đó: \(P\ge\frac{x}{\left(x+y\right)^2+x}+\frac{x}{z^2+x}=x\left[\frac{1}{\left(x+y\right)^2+x}+\frac{1}{z^2+x}\right]\)
\(\ge x\cdot\frac{4}{\left(x+y\right)^2+x+z^2+x}=\frac{4x}{\left(x+y\right)^2+z^2+2x}\) (Cauchy Schwarz)
Lại có: \(\left(x+y\right)^2+z^2=x^2+y^2+z^2+2xy=3\left(x+y+z\right)\)
\(\le3\sqrt{2\left[\left(x+y\right)^2+z^2\right]}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+z^2\le18\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{4x}{18+2x}=2-\frac{18}{x+9}\ge2-\frac{18}{1+9}=\frac{1}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)
Vậy Min(P) = 1/5 khi x = 1 ; y = 2 ; z = 3
cho x,y là các số thực dương thỏa mãn 3(x^4+y^4+z^4)-7(x^2+y^2+z^2)+12=0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\frac{x^2}{y+2z}+\frac{y^2}{z+2x}+\frac{z^2}{x+2y}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz , ta có : \(3.\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\), do đó : \(0\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2-7\left(x^2+y^2+z^2\right)+12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\), áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz , ta lại có :
\(P=\frac{x^2}{y+2z}+\frac{y^2}{z+2x}+\frac{z^2}{x+2y}\)
\(=\frac{x^4}{x^2y+2zx^2}+\frac{y^4}{y^2z+2xy^2}+\frac{z^4}{z^2x+2yz^2}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2y+y^2z+z^2x+2\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)}\)
Tiếp tục sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz và kết hợp BĐT quen thuộc \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\), ta có :
\(x^2y+y^2z+z^2x\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right).\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)}\)
\(\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right).\left(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\right)}\)
\(=\left(x^2+y^2+z^2\right).\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}\)
Tương tự , chứng minh đc :
\(2.\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3.\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}}\)
\(=\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}}\)
\(\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 nên giá trị nhỏ nhất của P là 1
cho x,y,z >0 thỏa mãn 3(x^4 +y^4 +z^4) - 7(x^2+y^2+z^2) +12= 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của P= \(\frac{x^2}{y+2z}\)+ \(\frac{y^2}{z+2x}\)+ \(\frac{z^2}{x+2y}\)
Câu hỏi của Kiều Trang - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
cho x+y+z=2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si swcharz:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{y+z}=\frac{y}{z+x}=\frac{z}{x+y}\\x+y+z=2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x+y+z=2\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=\frac{2}{3}}\)
Vậy gtnn là 1 khi x=y=z=2/3