Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a=b+c\\2b=c+a\\2c=a+b\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a=a+b+c\\3b=a+b+c\\3c=a+b+c\end{cases}}\Rightarrow a=b=c\)

Thay vào ta được:

\(Q=\frac{a+2b}{c}+\frac{b+2c}{a}+\frac{c+2a}{b}=\frac{3c}{c}+\frac{3a}{a}+\frac{3b}{b}=9\)

\(M=\frac{a+5b}{c}+\frac{b+5c}{a}+\frac{c+5a}{b}=\frac{6c}{c}+\frac{6a}{a}+\frac{6b}{b}=18\)

b phan d

Theo tính chất của dãy tỉ só bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b+c+d+a}=1\)

=> a=b=c=d

=> M=1+1+1+1=4

Ta có: \(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{c+a}>\frac{b}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)(1)

Lại có: \(\frac{a}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{a+b}< \frac{c+a}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M< \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+a}{a+b+c}=\frac{a+b+b+c+c+a}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(2)

Từ (1);(2) => 1 < M < 2 => đpcm

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được: 

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{a}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{a}=1\)

\(\Rightarrow a=b=c=d\)

Khí đó:

\(M=\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{d+a}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}\)

\(M=\frac{a+a}{a+a}+\frac{a+a}{a+a}+\frac{a+a}{a+a}+\frac{a+a}{a+a}=4\)

Vậy M = 4

Áp dụng TC của dãy tỉ số bằng nhau , ta có :

\(\frac{2019a+b+c+d}{a}=\frac{a+2019b+c+d}{b}=\frac{a+b+2019c+d}{c}=\frac{a+b+c+2019d}{d}\)

\(=\frac{\left(2019a+a+a+a\right)+\left(2019b+b+b+b\right)+\left(2019c+c+c+c\right)+\left(2019d+d+d+d\right)}{a+b+c+d}\)

\(=\frac{2022\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2022\)

Xét a + b + c + d =0

=> ( a + b ) = - ( c + d ) ; ( b + c ) = - ( a + d ) ; ( c + d ) = - ( a + b ) ; (a + d ) = - ( b + c )

\(\Rightarrow M=\frac{-\left(c+d\right)}{c+d}+\frac{-\left(a+d\right)}{d+a}+\frac{-\left(a+b\right)}{b+a}+\frac{-\left(a+d\right)}{b+c}\)

     \(M=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)=-4\)

Xét a + b + c + d khác 0 

=> a = b = c = d 

=> M = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

Vậy .....................

Do a;b;c và d là các số nguyên dương => 
a + b + c < a + b + c + d 
a + b + d < a + b + c + d 
a + c + d < a + b + c + d 
b + c + d < a + b + c + d 
=> a/(a + b + c) > a/(a + b + c + d) (1) 
b/(a + b + d) > b/(a + b + c + d) (2) 
c/(b + c + d) > c/(a + b + c + d) (3) 
d/(a + c + d) > d/(a + b + c + d) (4) 
Từ (1);(2);(3) và (4) 
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > a/(a + b + c + d) + b/(a + b + c + d) + c/(a + b + c + d) + d/(a + b + c + d) 
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > (a + b + c + d)/(a + b + c + d) 
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > 1 
=> M > 1 (*) 

Ta có: (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d) 
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - (a² + ab + ac + ad) 
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - a² - ab - ac - ad 
= bd + cd 
Do a;b;c và d là số nguyên dương 
=> bd + cd > 0 
=> (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d) > 0 
=> (a + b + c)(a + d) > a(a + b + c + d) 
=> (a + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) (5) 
Chứng minh tương tự ta được: 
(b + c)/(a + b + c + d) > b/(a + b + d) (6) 
(a + c)/(a + b + c + d) > c/(b + c + d) (7) 
(b + d)/(a + b + c + d) > d/(a + c + d) (8) 
Cộng vế với vế của (5);(6);(7) và (8) ta được: 
(a + d)/(a + b + c + d) + (b + c)/(a + b + c + d) + (a + c)/(a + b + c + d) + (b + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) 
=> (a + d + b + c + a + c + b + d)/(a + b + c + d) > M
=> 2(a + b + c + d)/(a + b + c + d) > M
=> 2 > M (*)(*) 
Từ (*) và (*)(*) 
=> 1 < M< 2 
=> M không phải là số nguyên

ko có câu hỏi hả bạn

Ta có: \(a,b,c,d\in N^{\times}\)nên:

\(\Rightarrow a+b+c< a+b+c+d\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)

Tương tự ta có: \(\frac{b}{a+b+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)

Và: \(\frac{c}{a+c+d}>\frac{c}{a+b+c+d}\)

Và: \(\frac{d}{b+c+d}>\frac{d}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow M>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)

Lại có: \(a,b,c,d\in N^{\times}\) nên:

\(\Rightarrow a+b+c>a+b\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}\)

Tương tự ta có: \(\frac{b}{a+b+d}< \frac{b}{a+b}\)

Và: \(\frac{c}{a+c+d}< \frac{c}{c+d}\)

Và: \(\frac{d}{b+c+d}< \frac{d}{c+d}\)

\(\Rightarrow M< \frac{a+b}{a+b}+\frac{c+d}{c+d}=2\)

Vậy \(1< M< 2\) nên \(M\) không phải số tự nhiên.