Gọi d là ước chung nguyên tố của 2n + 1 và n + 2

          Ta có : 2n + 1 và n + 2 chia hết cho d

                  => 2n + 1 và 2n + 4 chia hết cho d

                  =>(2n + 4) - (2n + 1) chia hết cho d

                  =>       3 chia hết cho d   => d = 3

          Để p/s tối giản thì d ko bằng 3

                  => 2n + 1 ko chia hết cho 3

                  => 2n + 1 - 3 ko chia hết cho 3

                  =>  2n - 2 ko chia hết cho 3

                  => 2.(n - 1) ko chia hết cho 3

                  =>    n - 1 ko chia hết cho 3 (vì 2 và 3 nguyên tố cùng nhau)

                  => n ko bằng 3k + 1(k thuộc Z)

          Vậy với n ko bằng 3k + 1 thì p/s tối giản

  Gọi d là ước chung nguyên tố của 2n + 1 và n + 2

          Ta có : 2n + 1 và n + 2 chia hết cho d

                  => 2n + 1 và 2n + 4 chia hết cho d

                  =>(2n + 4) - (2n + 1) chia hết cho d

                  =>       3 chia hết cho d   => d = 3

          Để p/s tối giản thì d ko bằng 3

                  => 2n + 1 ko chia hết cho 3

                  => 2n + 1 - 3 ko chia hết cho 3

                  =>  2n - 2 ko chia hết cho 3

                  => 2.(n - 1) ko chia hết cho 3

                  =>    n - 1 ko chia hết cho 3 (vì 2 và 3 nguyên tố cùng nhau)

                  => n ko bằng 3k + 1(k thuộc Z)

          Vậy với n ko bằng 3k + 1 thì p/s tối giản

ib mình sẽ chỉ cho(học rồi=)

ta có:

\(\frac{2n+1}{n+2}=\frac{2\left(2n+1\right)}{\left(2n+1\right)+3}\) 

=> Để số đã cho rút gọn được thì 2(2n+1) phải chia hết cho 3

2(2n+1) = 4n+2 = (3+1)n+2 = 3n+n+2 = 3n+(n+2)

=> n+2 chia hết cho 3

=> n = 3k+1 (trong đó k thuộc Z) để phân số \(\frac{2n+1}{n+2}\)rút gọn được.

Ta thấy

- Các số nguyên tố lớn hơn 2 không bao giờ chia hết cho 2

- Nếu p là số nguyên tố thì p^3 chỉ chia hết cho p^2 và p

Vì p^2 +2 là số nguyên tố nên nó không bao giờ chia hết cho 2

=> p^2 không chia hết cho 2 nên p không chia hết cho 2

=> p^3 không chia hết cho 2

Vậy p^3 +2 là số nguyên tố

TK :

Gọi ƯCLN(2n-1; 3n+2) là d. Ta có:

2n-1 chia hết cho d => 6n-3 chia hết cho d

3n+2 chia hết cho d => 6n+4 chia hết cho d => 6n-3+7

=> 6n-3+7-(6n-3) chia hết cho d

=> 7 chia hết cho d

Giả sử phân số rút gọn được

=> 2n-1 chia hết cho 7

=> 2n-1+7 chia hết cho 7

=> 2n+6 chia hết cho 7

=> 2(n+3) chia hết cho 7

=> n+3 chia hết cho 7

=> n = 7k - 3

Vậy để phân số trên tối giản thì n ≠ 7k - 3 

\(A=\frac{n+4}{n-1}=\frac{n-1+5}{n-1}=1+\frac{5}{n-1}\) vì 1 thuộc Z => để A thuộc Z thì 5 / n-1 thuộc Z

 <=> n-1 thuộc Ư(5 )=> n-1 = 5 => n = 6

                                   n-1 = -5 => n=-4

                                   n-1 = 1 => n= 2

                                   n -1 = -1 => n = 0 

B làm tương tự tách 4n -1 = 4n + 2 -3 = 2. ( 2n+1 ) -3 

1) Đặt: ( n + 9 ;  n - 6 ) = d  với d là số tự nhiên 

=> \(\hept{\begin{cases}n+9⋮d\\n-6⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(n+9\right)-\left(n-6\right)⋮d\Rightarrow15⋮d\)

=> d \(\in\)Ư ( 15 ) = { 1; 3; 5; 15 }

=> d có thể rút gọn cho số 3; 5; 15 

2) Đặt: ( 18n + 3 ; 23n + 7 ) = d 

=> \(\hept{\begin{cases}18n+3⋮d\\23n+7⋮d\end{cases}}\Rightarrow23\left(18n+3\right)-18\left(23n+7\right)⋮d\)

=> \(57⋮d\)

=> \(d\inƯ\left(57\right)=\left\{1;3;19;57\right\}\)

=> \(\frac{18n+3}{\text{23n+7}}\) rút gọn được  khi d = 3; d = 19 ; d = 57 

Vì rút gọn được cho 57 thì sẽ rút gọn được cho 3 và cho 19 

Nên mình chỉ cần xác định n với d = 3 và d =19 

+) Với d = 3 

\(\hept{\begin{cases}18n+3⋮3\\23n+7⋮3\end{cases}}\Rightarrow9\left(18n+3\right)-7\left(23n+7\right)⋮3\)

=> \(n+11⋮3\)

=> \(n-1⋮3\)

=>Tồn tại số tự nhiên k sao cho:  \(n=3k+1\)khi đo phân số sẽ rút gọn được cho 3

+) Với d = 19

\(\hept{\begin{cases}18n+3⋮19\\23n+7⋮19\end{cases}}\Rightarrow9\left(18n+3\right)-7\left(23n+7\right)⋮19\)

=> \(n+11⋮19\Rightarrow n-8⋮19\)

=> Tồn tại số tự nhiên k sao cho n = 19k + 8 khi đó phân số sẽ rút gọn được cho 19

Vậy n = 3k + 1 hoặc  n = 19k + 8 thì phân số sẽ rút gọn được.