Ta có : 

\(T=\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+...+\frac{2015}{2^{2014}}\)

\(\frac{1}{2}T=\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+...+\frac{2015}{2^{2015}}\)

\(T-\frac{1}{2}T=\left(\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+...+\frac{2015}{2^{2014}}\right)-\left(\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+...+\frac{2015}{2^{2015}}\right)\)

\(\frac{1}{2}T=1+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+...+\frac{2015}{2^{2014}}-\frac{2}{2^2}-\frac{3}{2^3}-\frac{4}{2^4}-...-\frac{2015}{2^{2015}}\)

\(\frac{1}{2}T=1+\left(\frac{3}{2^2}-\frac{2}{2^2}\right)+\left(\frac{4}{2^3}-\frac{3}{2^3}\right)+...+\left(\frac{2015}{2^{2014}}-\frac{2014}{2^{2014}}\right)-\frac{2015}{2^{2015}}\)

\(\frac{1}{2}T=1+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{2014}}\right)-\frac{2015}{2^{2015}}\)

Đặt \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{2014}}\)

\(2A=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{2013}}\)

\(2A-A=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{2013}}\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{2014}}\right)\)

\(A=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{2014}}\)

Mà \(\frac{1}{2^{2014}}>0\)

\(\Rightarrow\)\(A=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{2014}}< \frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(1+A-\frac{2015}{2^{2015}}< 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{2014}}-\frac{2015}{2^{2015}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{2}T< \frac{3}{2}-\left(\frac{1}{2^{2014}}+\frac{2015}{2^{2015}}\right)\)

Mà \(\frac{1}{2^{2014}}+\frac{2015}{2^{2015}}>0\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{2}T< \frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{2}T.2< \frac{3}{2}.2\)

\(\Rightarrow\)\(T< 3\) ( đpcm ) 

Vậy \(T< 3\)

Bạn xem đúng không nhé, chúc bạn học tốt ~

thank

Ta có :  T = 2 1 2 + 2 2 3 + 2 3 4 + ... + 2 2014 2015 2 1 T = 2 2 2 + 2 3 3 + 2 4 4 + ... + 2 2015 2015 T − 2 1 T = 2 1 2 + 2 2 3 + 2 3 4 + ... + 2 2014 2015 − 2 2 2 + 2 3 3 + 2 4 4 + ... + 2 2015 2015 2 1 T = 1 + 2 2 3 + 2 3 4 + ... + 2 2014 2015 − 2 2 2 − 2 3 3 − 2 4 4 − ... − 2 2015 2015 2 1 T = 1 + 2 2 3 − 2 2 2 + 2 3 4 − 2 3 3 + ... + 2 2014 2015 − 2 2014 2014 − 2 2015 2015 2 1 T = 1 + 2 2 1 + 2 3 1 + ... + 2 2014 1 − 2 2015 2015 Đặt A = 2 2 1 + 2 3 1 + ... + 2 2014 1 2A = 2 1 + 2 2 1 + ... + 2 2013 1 2A − A = 2 1 + 2 2 1 + ... + 2 2013 1 − 2 2 1 + 2 3 1 + ... + 2 2014 1 A = 2 1 − 2 2014 1 Mà  2 2014 1 > 0 ⇒A = 2 1 − 2 2014 1 < 2 1 ⇔1 + A − 2 2015 2015 < 1 + 2 1 − 2 2014 1 − 2 2015 2015 ⇔ 2 1 T < 2 3 − 2 2014 1 + 2 2015 2015 Mà  2 2014 1 + 2 2015 2015 > 0 ⇒ 2 1 T < 2 3 ⇒ 2 1 T.2 < 2 3 .2 ⇒T < 3 ( đpcm )  Vậy T < 3 Bạn xem đúng không nhé, chúc bạn học tốt ~ 

Bài 1 : 

Ta có :

\(A=\frac{10^{17}+1}{10^{18}+1}=\frac{\left(10^{17}+1\right).10}{\left(10^{18}+1\right).10}=\frac{10^{18}+10}{10^{19}+10}\)

Mà : \(\frac{10^{18}+10}{10^{19}+10}>\frac{10^{18}+1}{10^{19}+1}\)

Mà \(A=\frac{10^{18}+10}{10^{19}+10}\)nên \(A>B\)

Vậy \(A>B\)

Bài 2 :

Ta có :

\(S=\frac{2013}{2014}+\frac{2014}{2015}+\frac{2015}{2016}+\frac{2016}{2013}\)

\(\Rightarrow S=\frac{2014-1}{2014}+\frac{2015-1}{2015}+\frac{2016-1}{2016}+\frac{2013+3}{2013}\)

\(\Rightarrow S=1-\frac{1}{2014}+1-\frac{1}{2015}+1-\frac{1}{2016}+1+\frac{3}{2013}\)

\(\Rightarrow S=4+\frac{3}{2013}-\left(\frac{1}{2014}+\frac{1}{2015}+\frac{1}{2016}\right)\)

Vì \(\frac{1}{2013}>\frac{1}{2014}>\frac{1}{2015}>\frac{1}{2016}\)nên  \(\frac{3}{2013}-\left(\frac{1}{2014}+\frac{1}{2015}+\frac{1}{2016}\right)>0\)

Nên : \(M>4\)

Vậy \(M>4\)

Bài 3 : 

Ta có :

\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+.......+\frac{1}{100^2}\)

Suy ra : \(A< \frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+\frac{1}{3.5}+....+\frac{1}{99.101}\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{2}.\left(\frac{2}{1.3}+\frac{2}{2.4}+......+\frac{2}{99.101}\right)\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-......-\frac{1}{101}\right)\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{2}.\left[\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+.....+\frac{1}{99}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+......+\frac{1}{101}\right)\right]\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{2}.\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\right)\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{2}.\left(1+\frac{1}{2}\right)\)

\(\Rightarrow A< \frac{3}{4}\)

Vậy \(A< \frac{3}{4}\)

Bài 4 :

\(a)A=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+....+\frac{1}{2015.2017}\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{2}.\left(\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+.....+\frac{1}{2015.2017}\right)\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+.....+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2017}\right)\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{2017}\right)\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{2}.\frac{2016}{2017}\)

\(\Rightarrow A=\frac{1008}{2017}\)

Vậy \(A=\frac{1008}{2017}\)

\(b)\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+......+\frac{1}{x\left(x+2\right)}=\frac{1008}{2017}\)

\(\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+......+\frac{2}{x.\left(x+2\right)}=\frac{2016}{2017}\)

\(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+.....+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}=\frac{2016}{2017}\)

\(1-\frac{1}{x+2}=\frac{2016}{2017}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x+2}=1-\frac{2016}{2017}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x+2}=\frac{1}{2017}\)

\(\Rightarrow x+2=2017\)

\(\Rightarrow x=2017-2=2015\)

Vậy \(x=2015\)

nhớ phải 4 k thì làm

tớ cần gấp !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

trả lời được cho10 k

1212;

1212;

1212.

k cho mình nhé.

1212

tk nhe@@@@@@@@@@@!!

aitk minh minh tk lai

bye