Chứng tỏ rằng các phân số sau tối giản với mọi n \(\in\)N
a) \(\frac{5n+4}{4n+3}\) b) \(\frac{4n+3}{12n+5}\)
Chứng minh các phân số sau là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n
a) \(\frac{4n+7}{5n+9}\) b) \(\frac{4n^2+12n+1}{n+3}\)
a) Đặt \(d=\left(4n+7,5n+9\right)\)
Suy ra
\(\hept{\begin{cases}4n+7⋮d\\5n+9⋮d\end{cases}}\Rightarrow4\left(5n+9\right)-5\left(4n+7\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\)
Do đó ta có đpcm.
b) Đặt \(d=\left(4n^2+12n+1,n+3\right)\)
Suy ra
\(\hept{\begin{cases}4n^2+12n+1⋮d\\n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow4n^2+12n+1-4n\left(n+3\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\)
Do đó ta có đpcm.
Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n , các phân số sau là phân số tối giản :
a) \(\frac{4n+3}{5n+4}\) b) \(\frac{n^3+2n+1}{n^2+2}\)
a, Gọi ƯCLN (4n+3;5n+4 ) = \(d\inℕ^∗\)
Ta có : \(4n+3⋮d\Rightarrow20n+15⋮d\left(1\right);5n+4⋮d\Rightarrow20n+16⋮d\left(2\right)\)
Lấy (2) - (1) \(20n+16-20n-15⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
Vậy ta có đpcm
b, Gọi ƯCLN( \(n^3+2n+1;n^2+2\)) = \(d\inℕ^∗\)
Ta có : \(n^3+2n+1⋮d\left(1\right);n^2+2⋮d\Rightarrow n^3+2n⋮d\left(2\right)\)
Lấy (1) - (2) \(n^3+2n+1-n^3-2n⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
Vậy ta có đpcm
chứng tỏ rằng các phân số sau là phân số tối giản với mọi n thuộc N
a> A=2n+3/4n+5
b> B=2n+1/5n+2
c> C=14n+3/21n+4
Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n, các phân số sau tối giản:
a) 15n+1/30n+1. ; b) 12n+1/30n+2. ; c)8n+5/6n+4 ; d)2n+3/4n+8
a, Gọi ƯCLN(15n+1; 30n+1) là d. Ta có:
15n+1 chia hết cho d => 2(15n+1) chia hết cho d => 30n+2 chia hết cho d
30n+1 chia hết cho d
=> 30n+2-(30n+1) chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
=> d = 1
=> ƯCLN(15n+1; 30n+1) = 1
=> \(\frac{15n+1}{30n+1}\)tối giản (Đpcm)
Các phần sau tương tự
chứng tỏ rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n:
a,n+3/n+4
b,3n+3/9n+8
c,4n+3/5n+4
d,n+1/2n+3
e,2n+3/4n+8
f, 3n+2/5n+3
giúp mình với
c) Gọi ƯCLN(4n + 3;5n+4) = d
=> \(\hept{\begin{cases}4n+3⋮d\\5n+4⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(4n+3\right)⋮d\\4\left(5n+4\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}20n+15⋮d\\20n+16⋮d\end{cases}\Rightarrow}20n+16-\left(20n+15\right)⋮d\Rightarrow1⋮d}\)
=> d = 1
=> 4n + 3 ; 5n + 4 là 2 số nguyên tố cùng nhau
=> \(\frac{4n+3}{5n+4}\)là phân số tối giản
d) Gọi ƯCLN(n+1;2n + 3) = d
=> \(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(n+1\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}2n+3-\left(2n+2\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1}\)
=> n + 1 ; 2n + 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau
=> \(\frac{n+1}{2n+3}\)là phân số tối giản
f) Gọi ƯCLN(3n + 2;5n + 3) = d
=> \(\hept{\begin{cases}3n+2⋮d\\5n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(3n+2\right)⋮d\\3\left(5n+3\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\begin{cases}15n+10⋮d\\15n+9⋮d\end{cases}\Rightarrow15n+10-\left(15n+9\right)⋮d\Rightarrow1⋮d}\)
=> d = 1
=> 3n + 2 ; 5n + 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau
=> \(\frac{3n+2}{5n+3}\)là phân số tối giản
a) Gọi ƯCLN(n + 3;n + 4) = d
=> \(\hept{\begin{cases}n+3⋮d\\n+4⋮d\end{cases}\Rightarrow n+4-\left(n+3\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1}\)
=> n + 3 ; n + 4 là 2 số nguyên tố cùng nhau
=> \(\frac{n+3}{n+4}\)là phân số tối giản
b) Gọi ƯCLN(3n + 3 ; 9n + 8) = d
Ta có : \(\hept{\begin{cases}3n+3⋮d\\9n+8⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(3n+3\right)⋮d\\9n+8⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}9n+9⋮d\\9n+8⋮d\end{cases}}\Rightarrow9n+9-\left(9n+8\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1}\)
=> 3n + 3 ; 9n + 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau
=> \(\frac{3n+3}{9n+8}\)phân số tối giản
Chứng minh phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n
A= 4n+3/5n+4
Giải:
Gọi ƯCLN(4n+3;5n+4)=d
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n+3⋮d\\5n+4⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5.\left(4n+3\right)⋮d\\4.\left(5n+4\right)⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}20n+15⋮d\\20n+16⋮d\end{matrix}\right.\)
⇒(20n+16)-(20n+15) ⋮ d
⇒ 1 ⋮ d
⇒d=1
Vậy \(\dfrac{4n+3}{5n+4}\) là phân số tổi giản.
Chúc bạn học tốt!
chứng tỏ rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n
\(\frac{2n+3}{4n+8}\)
Gợi Ư CLN\(\left(2n+3;4n+8\right)=d\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\Rightarrow2.\left(2n+3\right)⋮d\Rightarrow4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(4n+8\right)-\left(4n+6\right)⋮d\)
\(\Rightarrow2⋮d\Rightarrow d=1;2\)
\(+d=2\Rightarrow2n+3⋮2\)
Mak 2n+3 ko chia hết cho 2
\(\Rightarrow d\ne2\)
\(\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Chứng tỏ rằng các phân sô sau tối giản với mọi phân số:
\(A,\frac{n+1}{2n+3}\)\(B,\frac{2n+3}{4n+8}\)
a) Vì phân số n+1/2n+3 tối giản với mọi phân số nên ƯCLN(n+1; 2n+3) =1. Gọi ƯCLN(n+1; 2n+3) = d
=> n+1 \(⋮\)d
2n+3 \(⋮\)d
=> 2(n+1) \(⋮\)d
2n+ 3 \(⋮\)d
=> 2n+2 \(⋮\)d
2n+3 \(⋮\)d
=> 2n+3 - 2n -2 \(⋮\)d
=> 1 \(⋮\)d
=> d =1
Vì d= 1 nên phân số n+1/2n+3 là phân số tối giản
Phần b cũng thế nha
Gọi ƯCLN(n + 1 ; 2n + 3) = d
=> \(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(n+1\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)⋮d}\)
=> \(1⋮d\Rightarrow d=1\)
=> n + 1 ; 2n + 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau
=> \(\frac{n+1}{2n+3}\) là phân số tối giản
b Gọi ƯCLN(2n + 3 ; 4n + 8) = d
=> \(\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(2n+3\right)⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(4n+8\right)-\left(4n+6\right)⋮d}\)
=> \(2⋮d\Rightarrow d\inƯ\left(2\right)\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)
Vì \(2n+3\)là số lẻ với mọi n nguyên
=> 2n + 3 không chia hết cho 2
=> \(d\ne2\)=> d = 1
Khi d = 1 , 2n + 3 ; 4n + 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau
=> B là phân số tối giản
a) Gọi d là ƯC( n+1 ; 2n+3 )
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2\left(n+1\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow2n+3-2n-2⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
\(\RightarrowƯCLN\left(n+1;2n+3\right)=1\)
=> \(\frac{n+1}{2n+3}\)tối giản ( đpcm )
b) Gọi d là ƯC( 2n+3 ; 4n+8 )
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2\left(2n+3\right)⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(4n+8\right)-\left(4n+6\right)⋮d\)
\(\Rightarrow4n+8-4n-6⋮d\)
\(\Rightarrow2⋮d\Rightarrow d=\left\{1;2\right\}\)
* \(d=2\Rightarrow2n+3⋮̸d̸\)
\(\Rightarrow d=1\)
\(\RightarrowƯCLN\left(2n+3;4n+8\right)=1\)
\(\Rightarrow\frac{2n+3}{4n+8}\)tối giản ( đpcm )
Chứng tỏ rằng các phân số tối giản sau với mọi số tự nhiên N.
a. \(\frac{n+1}{2n=3}\) b. \(\frac{2n+3}{4n+8}\)
a) Gọi d = ƯCLN(n+1; 2n+3) (d thuộc N*)
=> n + 1 chia hết cho d; 2n + 3 chia hết cho d
=> 2.(n + 1) chia hết cho d; 2n + 3 chia hết cho d
=> 2n + 2 chia hết cho d; 2n + 3 chia hết cho d
=> (2n + 3) - (2n + 2) chia hết cho d
=> 2n + 3 - 2n - 2 chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
Mà d thuộc N* => d = 1
=> ƯCLN(n+1; 2n+3) = 1
=> n + 1 và 2n + 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau
Câu b lm tương tự