Ta co:

\(M=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2=\left(\frac{1}{a}-2\right)^2+\left(\frac{1}{b}-2\right)^2+6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)-6\ge\frac{24}{a+b}-6=18\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

a+b=2=> a=2-b

\(\Rightarrow\left(1-\frac{4}{a^2}\right)\left(1-\frac{4}{b^2}\right)=\left(\frac{a^2-4}{a^2}\right)\left(\frac{b^2-4}{b^2}\right)=\frac{\left(2-b\right)^2-4}{\left(2-b\right)^2}.\frac{b^2-4}{b^2}\)

=\(\frac{b^2-2b-8}{b^2-2b}\)

đặt A=\(\frac{b^2-2b-8}{b^2-2b}\)

đkxđ \(\hept{\begin{cases}b\ne0\\b\ne2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow Ab^2-2bA=b^2-2b-8\)

\(\Leftrightarrow\left(A-1\right)b^2-2\left(A-1\right)b+8=0\)

nếu A=1 => 8=0 (vô lý) 

nếu A khác 1 pt có nghiệm khi \(\Delta\ge0\Leftrightarrow\left[-2\left(A-1\right)\right]^2-4\left(A-1\right).8\ge0\)

\(4A^2-40A+36\ge0\Leftrightarrow A^2-10A+9\ge0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}A\le1\\A\ge9\end{cases}}\)

GTNN A=9 dấu "=" <=> a=b=1 

bạn ơi mình đặt nhầm B thành A rồi bn tự sửa lại nhé!

\(B=\left(1-\frac{4}{a^2}\right)\left(1-\frac{4}{b^2}\right)=\left(1-\frac{2}{a}\right)\left(1-\frac{2}{b}\right)\left(1+\frac{2}{a}\right)\left(1+\frac{2}{b}\right)\)

\(=\frac{\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(a+2\right)\left(b+2\right)}{a^2b^2}=\frac{ab.\left(a+2\right)\left(b+2\right)}{a^2b^2}=\frac{ab+2\left(a+b\right)+4}{ab}=\frac{8}{ab}+1\)

Theo BĐT Cauchy thì : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\) 

Suy ra : \(A\ge\frac{8}{\frac{2^2}{4}}+1=9\).Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1/2

Vậy ......................................

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1 nhé.

câu hỏi ko tl cx thấy xàm xàm xàm xmà

Ta có

\(M=\left(1+a\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)+\left(1+b\right)\left(1+\frac{1}{a}\right)=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)

\(\ge2+2+a+b+\frac{4}{a+b}\)

\(=4+a+b+\frac{2}{a+b}+\frac{2}{a+b}\)

 \(\ge4+2\sqrt{\left(a+b\right).\frac{2}{\left(a+b\right)}}+\frac{2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\)

\(=4+2\sqrt{2}+\sqrt{2}=4+3\sqrt{2}\)

thi hsg co cao khong

dang no giong bai bdt vap LHP chuyen nam 2017-2018

a) Vì a,b cùng dấu 

=> \(\frac{a}{b}\ge0;\frac{b}{a}\ge0\)

Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số dương ta có:

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\)

b) \(P=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)

Áp dụng bđt cô si cho hai số dương ta có:

\(2+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge2+2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2+2=4\)

Vậy GTNN của P là 4