Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau. Chứng minh :
a) cotan B + cotan C lớn hơn hoặc bằng 2/3
cho tam giác ABC có 2 trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau . Đặt BC = a , AC = b , AB = c
a) tính a theo b và c
b) C/m cotan B + cotan C \(\ge\frac{2}{3}\)
Chứng minh: (bài toán phụ): tam giác ABC có BC = a; AC - b; AB = c. Chứng minh: b2 = a2 + c2 - 2ac. cosB
kẻ đường cao AH .
Áp dụng ĐL Pi ta go trong tam giác vuông AHC có: b2 = AH2 + CH2 = AH2 + (BC - BH)2 = (AH2 + BH2 ) + BC2 - 2.BH.BC
=> b2 = AB2 + BC2 - 2.AB. cosB . BC = c2 + a2 - 2ca. cosB
a)
Gọi G là giao của BM và CN
Áp dụng ĐL Pi ta go trong tam giác vuông GBC có: GB2 + GC2 = BC2 = a2 (*)
Áp dụng kết quả bài toán phụ ( chứng minh trên) trong tam giác BMC ta có:
BM2 = BC2 + CM2 - 2.CM . BC. cos C
Thay CM = b/2 ; cos C = \(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\) ta được BM2 = a2 + \(\frac{b^2}{4}\) - 2.\(\frac{b}{2}\). a. \(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\) = ...= \(\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}\)
Áp dụng tương tự, trong tam giác CNB có: CN2 = \(\frac{2b^2+2a^2-c^2}{4}\)
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GB = \(\frac{2}{3}\) BM ; GC = \(\frac{2}{3}\) CN
=> GB2 = \(\frac{4}{9}\)BM2 = \(\frac{4}{9}\).\(\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}\)
GC2 = \(\frac{4}{9}.\frac{2b^2+2a^2-c^2}{4}\)
Thay vào (*) ta được : \(a^2=\frac{4\left(2a^2+2c^2-b^2\right)}{36}+\frac{4\left(2b^2+2a^2-c^2\right)}{36}\)
=> 36a2 = 16a2 + 4c2 + 4b2
=> 5a2 = b2 + c2 => a2 = (b2 + c2)/5
nhìn đi nhìn lại cảm thấy khó thật đó !!! T.T
cho tam giác ABC có 2 trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau . Đặt BC = a , AC = b , AB = c
a) tính a theo b và c
b) C/m cotan B + cotan C \(\ge\frac{2}{3}\)
cho tam giác ABC có 2 trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau . Đặt BC = a , AC = b , AB = c
a) tính a theo b và c
b) C/m cotan B + cotan C \(\ge\frac{2}{3}\)
Cho tam giác ABC có góc C < 90 độ. Một điểm M di chuyển bên cạnh BC. Gọi N, P là các hình chiếu của M xuống BC, AC. Chứng minh :
a) cotan B + cotan C lớn hơn hoặc bằng 2/3
Mọi người giúp mình giải và ve hình nhé ! Cảm ơn
cho tam giác ABC có 2 trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau . Đặt BC = a , AC = b , AB = c
a) tính a theo b và c
b) C/m cotan B + cotan C \(\ge\) \(\frac{2}{3}\)
2) cho tam giác ABC vuông tại a
C/m :a. \(\sin^{2007}+\cos B<\frac{5}{4}\)
b. \(\sin^{2007}+\cos^{2008}<1\)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh: a/ sin2007B+cosB<\(\frac{5}{4}\)
b/ sin2007+cos2008<1
AI LÀM ĐƯỢC TRẢ LỜI ĐI TÔI CŨNG ĐANG CẦN GẤP
Do G là trọng tâm tam giác nên ta có :
\(\hept{\begin{cases}CG=\frac{2}{3}CN\\BG=\frac{2}{3}BM\end{cases}}\Rightarrow CG>BG\Rightarrow\widehat{GBC}>\widehat{GCB}\)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và các trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Chứng minh: \(cotC+cotB\ge\dfrac{2}{3}\)
Kẻ đg cao AH, trung tuyến AD, trọng tâm G
Tg AHD vuông tại H nên \(AH\le AD\Rightarrow\dfrac{BC}{AH}\ge\dfrac{BC}{AD}\left(4\right)\)
Ta có \(\cot\widehat{B}+\cot\widehat{C}=\dfrac{BH}{AH}+\dfrac{CH}{AH}=\dfrac{BC}{AH}\ge\dfrac{BC}{AD}\left(1\right)\)
Mà BM vuông góc CN nên GD là trung tuyến ứng vs ch BC
\(\Rightarrow BC=2GD\left(2\right)\)
Mà G là trọng tâm nên \(3GD=AD\left(3\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\left(4\right)\Rightarrow\cot\widehat{B}+\cot\widehat{C}\ge\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{2GD}{3GD}=\dfrac{2}{3}\)
1. Cho tam giác ABC, gọi BM và CN lần lượt là các đường trung tuyến sao cho BM vuông góc với CN. Chứng minh cotA = 2 (cotB + cotC)
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A có H là trung điểm của BC, D là hình chiếu vuông góc của H trên AC và M là trung điểm HD. Đường thẳng BD đi qua E(0;4) và AC đi qua điểm F(-1;5). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết đường thẳng AM có phương trình x - 3y + 14 = 0 và A có hoành độ âm
Cho tam giác ABC cân tại A,2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại I . Chứng Minh :
A) BM=CN
B) tam giác IBC cân
C) AI là trung tuyến
D) Qua B kẻ Bx vuông góc với AB , qua C kẻ Cy vuông góc với AC
Bx cắt Cy tại K . Chứng minh rằng A;I;K thằng hàng