a chia  hết cho b => a=k.b, k thuộc Z

b chia hết cho c => b=m.c, m thuộc Z

Suy ra: a=k.b=k.m.c chia hết cho c 

\(a⋮b\Rightarrow a=bk\)\(\left(k\inℕ\right)\)\(\left(1\right)\)

\(b⋮c\Rightarrow b=cq\)\(\left(q\inℕ\right)\)\(\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow a=cqk\)

\(\Rightarrow c\inƯ\left(a\right)\)

\(\Rightarrow a⋮c\left(đpcm\right)\)

\(A=2+2^2+2^3+.........+2^{60}\)

\(\Rightarrow2A=2.\left(2+2^2+2^3+.......+2^{60}\right)\)

\(\Leftrightarrow2A=2^2+2^3+........+2^{60}+2^{61}\)

\(\Leftrightarrow2A-A=\left(2^2+2^3+......+2^{60}+2^{61}\right)-\left(2+2^2+2^3+........+2^{60}\right)\)

\(\Leftrightarrow1A=2^{61}-2\)

Mà 2^61 có tận cùng là chữ số 2 nên 2^61 - 2 sẽ có tận cùng là chữ số 0 chia hết cho 5

Vậy A chia hết cho 5

\(A=2+2^2+2^3+......+2^{60}\)

\(A=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+.......+\left(2^{59}+2^{60}\right)\)

\(A=2.\left(1+2\right)+2^3.\left(1+2\right)+.......+2^{59}.\left(1+2\right)\)

\(A=2.3+2^3.3+.......+2^{59}.3\)

\(A=3.\left(2+2^3+....+2^{59}\right)\)

A chia hết cho 3

\(A=2+2^2+2^3+.......+2^{60}\)

\(A=\left(2+2^2+2^3\right)+.........+\left(2^{58}+2^{59}+2^{60}\right)\)

\(A=2.\left(1+2+2^2\right)+......+2^{58}.\left(1+2+2^2\right)\)

\(A=2.7+....+2^{58}.7=7.\left(2+....+2^{58}\right)\)

A chia hết cho 7

Nhớ k cho mình nhé! Cảm ơn!!!

dễ thôi tự giải đi

Ta có: \(4^{100}=...6\)(Vì 4 mũ chẵn tận cùng là 6, mũ lẻ tận cùng là 4)

\(\Rightarrow4^{100}-1=...5\)nên chia hết cho 5

Ta có: \(1=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)

Vì a,b,c là số nguyên dương nên: 

Ta có: \(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)

          \(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)

           \(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\)             

                                                                                                                       đpcm

Cảm ơn bạn rất nhiều!

Giải thích thêm: ta thấy \(\frac{1}{2^2}>\frac{1}{100}\),...,\(\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}\)=> từ \(\frac{1}{2^2}\)đến \(\frac{1}{10^2}\)có 5 cặp

\(\frac{1}{12^2}< \frac{1}{100}\),...,\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{100}\)=> từ \(\frac{1}{12^2}\)đến \(\frac{1}{100^2}\)có 45 cặp

=> 45>5 => tổng < 1/2 (kết hợp với cái kia nx thì bn mới hiểu)

Ta  có: \(\frac{1}{2^2}>\frac{1}{100}\)

\(\frac{1}{4^2}>\frac{1}{100}\)

...

\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{100}\)

=> \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{100}+\frac{1}{100}+...+\frac{1}{100}=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}\)

Đặt  \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+...+\frac{1}{100^2}\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{2^2}\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{50^2}\right)\)

Ta có:

\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4};...;\frac{1}{50^2}< \frac{1}{49.50}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{50^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{49.50}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{50^2}< 1-\frac{1}{50}< 1\)

\(\Rightarrow1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{50^2}< 1+1=2\Rightarrow A< \frac{1}{2^2}.2\Rightarrow A< \frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

Ta có : abba = 1000 x a + 100 x b + 10 x b + a x 1

= 1001 x a + 110 x b

= 110 x a + 891 x a + 110 x b

= ( a + b ) x 110 + 891 x a

Ta thấy 110 chia hết cho 11 nên (a + b) x 110 chia hết cho 11, mặt khác 891 chia hết cho 11 nên a x 891 chia hết cho 11

=> (a + b) x 110 + 891 x a chia hết cho 11

Hay abba chia hết cho 11

ta có : 

abba = 1000a+100b+10b+a

         =(a.1000+a) + (100b + 10b)

          =a(1000+1)+b(100+10)

          =a.1001 + b.110 = a. 91. 11 +b.10.11 = 11(a.91 + b.10 ) chia hết cho 11

Ta có : 2 + 2² + 2³ + ..... + 2³⁰ 

= (2 + 2² + 2³) + ..... + (2²⁸ + 2²⁹ + 2³⁰)

= 2.(1 + 2 + 2²) + ...... + 2²⁸(1 + 2 + 2²)

= 2.7 + ..... + 2²⁸.7

= 7(2 + ..... + 2²⁸) chia hết cho 7 

2+2²+2³+2⁴+...+2³⁰=(2+2²+2³)+(2⁴+2⁵+2⁶)+...+(2²⁸+2²⁹+2³⁰)

= 2(1+2+2²)+2⁴(1+2+2²)+...+2²⁸(1+2+2²)=

= (1+2+2²)(2+2⁴+...+2²⁸)=7.(2+2⁴+...+2²⁸)  => Chia hết cho 7

\(2+2^2+2^3+2^4+...+2^{28}+2^{29}+2^{30}\)

\(=\left(2+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6\right)+...+\left(2^{28}+2^{29}+2^{30}\right)\)

\(=2\left(1+2+2^2\right)+2^4\left(1+2+2^2\right)+...+2^{28}\left(1+2+2^2\right)\)

\(=2.7+2^4.7+...+2^{28}.7\)

\(=7\left(2+2^4+...+2^{28}\right)\) chia hết cho 7