Cho phân số \(\frac{a}{b}\). CMR: \(\frac{a-x}{b-y}\)= \(\frac{a}{b}\)thì \(\frac{x}{y}\)= \(\frac{a}{b}\)
Cho phân số \(\frac{a}{b}\) . CMR ; \(\frac{a-x}{b-y}\) = \(\frac{a}{b}\) thì \(\frac{x}{y}\) = \(\frac{a}{b}\)
Theo đề bài ta có :
a-x/b-y=a/b
=> (a-x)b=(b-y)a
=> ab - xb=ba-ya
=> xb=ta
=> x/y = a/b
Vậy cho phân số a/b mà a-x/b-y=a/b thì suy ra được x/y=a/b ( đpcm)
# chúc bạn học tốt #
Cho phân số \(\frac{a}{b}\). CMR : nếu \(\frac{a-x}{b-y}\)= \(\frac{a}{b}\) thì \(\frac{x}{y}=\frac{a}{b}\)
Nếu (a-x)/(b-y)=a/b thì a(b-y)=b(a-x)
ab-ay=ab-bx
=>ay=bx
=>a/b=x/y
a) Cho x, y, z là các số dương, CMr: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge x+y+z\)
b) Cho a, b, c là b số dương. CMR: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge2\)
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2y\) ; \(\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}\ge2x\); \(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge2z\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\right)\ge2\left(x+y+z\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
a. \(\)Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương \(\frac{xy}{z}\) và \(\frac{yz}{x}\), ta có: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}}=2\sqrt{y^2}=2y\) (1)
Hoàn toàn tương tự: \(\)
\(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge2z\) và \(\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}\ge2x\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0. CMR :
Nếu \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\) và \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)thì \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
Ờm thì đại khái như vầy , dùng thêm hằng cao cấp mới chơi được =))
Link : Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ – Wikipedia tiếng Việt
Dùng hằng mở rộng số 4
Ta có :
\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow ayz+bxz+cxy=0\) (1)
Lại có :
\(\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)^2=\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}+2.\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ca}\right)=1^2=1\) (chỗ này dùng cái skill mở rộng)
<=> \(\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}+2.\left(\frac{xyc}{abc}+\frac{ayz}{abc}+\frac{bzx}{abc}\right)=1\)
<=> \(\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}+2.\frac{ayz+bxz+cxy}{abc}=1\)
Thay 1 vào
=> \(\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}=1\)
mình giải hơi khác 1 chút, nhưng thôi cx đc
Sửa lại :
Lại có :
\(\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ca}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xyc}{abc}+\frac{yza}{abc}+\frac{zxb}{cba}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2.\frac{ayz+bxz+cxy}{abc}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
cho phân số \(\frac{a}{b}\).CMR:
nếu \(\frac{a-x}{b-y}=\frac{a}{b}\),\(\frac{x}{y}=\frac{a}{b}\)
\(\frac{a-x}{b-y}=\frac{a}{b}\)
=>(a-x)*b=a(b-y)
ab-bx=ab-ay
=>bx=ay
=>x/y=a/b
a) cho x,y dương. CMR: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
b) cho a+b+c=1 CMR: \(\frac{a}{a+b^2}+\frac{b}{b+c^2}+\frac{c}{c+a^2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
a/ \(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
b/ \(\frac{a}{a+b^2}=\frac{a}{a\left(a+b+c\right)+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2+a\left(b+c\right)}\le\frac{a}{2ab+a\left(b+c\right)}=\frac{1}{b+b+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b^2}=\frac{1}{b+b+b+c}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{3}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Tương tự: \(\frac{b}{b+c^2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{3}{c}+\frac{1}{a}\right)\) ; \(\frac{c}{c+a^2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{c}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
CMR:
a) Các phân số sau là phân số tối giản:
\(\frac{12n+1}{30n+2}\) ; \(\frac{3n-2}{4n-3}\left(n\in N\right)\)
b)Nếu \(\frac{a-x}{b-y}=\frac{a}{b}thì\frac{x}{y}=\frac{a}{b}\)\(\left(a,b,x,y\ne0;b\ne y\right)\)
a, Đặt d là ƯCLN( 12n+1 ; 30n+2 )
Ta có : \(\left(12n+1\right)⋮d\) \(\Rightarrow5\left(12n+1\right)⋮d\)
\(\left(30n+2\right)⋮d\) \(2\left(30n+2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow\left(60n+5-60n-4\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\) \(\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrow12n+1;30n+2\) là hai số nguyên tố cùng nhau
Vậy phân số \(\frac{12n+1}{30n+2}\) là phân số tối giản.
\(Cho:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1và:\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{x}=0.\\ CMR:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
Bạn chỉ cần bình phương PT x/a + y/b + z/c
và chỉ ra ayz + bxz + cxy = 0 ở PT 2 là xong
:D
\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\Rightarrow ayz+bxz+cxy=0\)
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\Rightarrow(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})^2=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{ac})=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1-2(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{ac})=1-2\frac{ayz+bxz+cxy}{abc}=1-2\cdot0=1(đpcm)\)
C1: Giả sử x,y là những số thực dương phân biệt tm:
\(\frac{y}{x+y}+\frac{2y^2}{x^2+y^2}+\frac{4y^4}{x^4+y^4}+\frac{8y^8}{x^8-y^8}=4\)
CMR 5y=4x
C2: Giả sử a,b,c là các số thực dương tm a+b+c=abc
\(\frac{a}{1+a^2}+\frac{2b}{1+b^2}+\frac{3c}{1+c^2}=\frac{abc\left(5a+4b+3c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
C3: Cho a,b,c khác 0 tm \(a\left(b+c\right)^2+b\left(c+a\right)^2+c\left(a+b\right)^2=4abc\)
CMR : \(\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}\)với n là số tự nhiên lẻ
C4: Cho các số a,b,x,y tm : ab khác 0 ; a+b khác 0 ; \(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{1}{a+b}\); \(x^2+y^2=1\)
CMR : a, \(ay^2=bx^2\)
b, \(\frac{x^{200}}{a^{100}}+\frac{y^{200}}{b^{100}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{100}}\)