Xét bài toán (II): Cho tam giác A'B'C' điểm D' thuộc cạnh BC sao cho \(\frac{A'B'}{A'C'}=\frac{D'B'}{D'C'}\).

Chứng minh: A'D' là phân giác góc A' của tam giác A'B'C'

Trên tia đối tia D'A' lấy điểm E' sao cho B'E'=B'A' 

=> \(\Delta B'E'A'\)cân tại B'

=> \(\widehat{B'A'D'}=\widehat{B'E'D'}\)(1)

Xét tam giác: A'D'C' và tam giác E'D'B' có: \(\frac{E'B'}{A'C'}=\frac{D'B'}{D'C'}\)và \(\widehat{C'D'A'}=\widehat{B'D'E'}\)

=> Hai tam giác trên đồng dạng

=> \(\widehat{C'A'D'}=\widehat{B'E'D'}\)(2)

Từ (1), (2) => \(\widehat{C'A'D'}=\widehat{B'A'D'}\)=> A'D' là phân giác góc A của tam giác A'B'C'

Quay lại bài toán của bạn:

Xét tam giác EFD có: M thuộc FD và \(\frac{ED}{EF}=\frac{MD}{MF}\)

theo bài toán (II)  đã chứng minh ở trên ta có: EM là phân giác góc \(\widehat{FED}\)

tương tự FN là phân giác góc \(\widehat{DFE}\)

mà EM cắt FN tại H

=> H là giao ba đường phân giác trong tam giác DEF

=> DA là phân giác trong góc FDE

Như vậy cần chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC

Bài này có thể phải dùng tới định lí Menenaus hoặc Ceva. Em đã được học về các định lý này chưa?

Bài này mình cảm thấy hơi lạ. Theo chứng minh của anh/chị Nguyễn Linh Chi thì H chính là giao điểm 3 đường phân giác của ∆DEF. Nhưng nếu F,E là 2 điểm bất kỳ nằm trên AB,AC(E,F khác chân đường cao cao kẻ từ C và B) sao cho AD là phân giác góc FDE thì H vẫn là giao điểm 3 đường phân giác của ∆DEF. Nhưng khi đó thì H không phải là trực tâm của ∆ABC. Mong mọi người "khai sáng" cái đầu của mình giùm mình huhu mình không hiểu lắm về đề bài ạ :((

Có sai sót gì xin mọi người bỏ qua ạ.

Link hình: file:///C:/Users/THAOCAT/Pictures/Screenshots/Screenshot%20(1224).png

Áp dụng định lý Menelaus cho bộ ba điểm (K,E,D) thằng hàng của \(\Delta\)AMC, ta được: \(\frac{KM}{KC}.\frac{EC}{EA}.\frac{DA}{DM}=1\Rightarrow\frac{KM}{KC}=\frac{EA}{EC}.\frac{DM}{DA}\)(1)

Tương tự đối với bộ ba điểm (H,D,F) thẳng hàng trong \(\Delta\)AMB, ta được: \(\frac{HB}{HM}.\frac{DM}{DA}.\frac{FA}{FB}=1\Rightarrow\frac{HB}{HM}=\frac{FB}{FA}.\frac{DA}{DM}\)(2)

Tiếp tục áp dụng định lý Ceva cho ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy tại M trong \(\Delta\)ABC, ta có: \(\frac{DC}{DB}.\frac{FB}{FA}.\frac{EA}{EC}=1\Rightarrow\frac{DC}{DB}=\frac{FA}{FB}.\frac{EC}{EA}\)(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\frac{KM}{KC}.\frac{HB}{HM}.\frac{DC}{DB}=1\)

\(\Delta\)BMC có \(\frac{KM}{KC}.\frac{HB}{HM}.\frac{DC}{DB}=1\)nên ba đường thẳng MD, BK, CH đồng quy (định lý Ceva đảo)

Vậy AD, BK và CH đồng quy (đpcm)

Cậu ơi cho t hỏi tí: câu (a) ấy cái chỗ c/m AD vuông góc vs BC trình bày kiểu gì cho nó logic được ???

a) Ta có BFC = 90* ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => AB vuông góc CF BEC = 90* ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => AC vuông góc BE Tam giác ABC có BE, CF là đường cao ( AB vuông góc CF tại F và AC vuông góc BE tại E ) Mà BE và CF cắt nhau tại H Suy ra H là trực tâm tam giác ABC => AH vuông góc BC tại D AH . AD = AE . AC Xét tam giác AHE và ADC AEH = ADC = 90* góc A : góc chung Vậy tam giác AEH đồng dạng tam giác ADC => Nhấp chuột và kéo để di chuyển=Nhấp chuột và kéo để di chuyển => AE . AC = AD . AH b) Gợi ý nhé bạn Ta chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp => DFH = HBD Mà HBD = CFE ( cùng chắn CE ) Nên DFH = CFE => FC là phân giác góc EFD => DFE = 2 CFE Mà EOC = 2 CFE ( góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung CE ) Suy ra DFE = EOC => Tứ giác EODF nội tiếp ( góc trong = góc đối ngoài ) c) Tứ giác EODF nội tiếp => EDF = EOF Mà EOF = 2 ECF ( góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn EF ) Nên EDF = 2 ECF Tam giác DFL cân tại D => EDF = 2 FLD = 2 FLE Mà EDF = 2 ECF (cmt) Nên FLE = ECF => Tứ giác EFCL nội tiếp Mà tam giác CEF nội tiếp (O) => L thuộc (O) Tam giác BLC nội tiếp (O). Có BC là đường kính Suy ra tg BLC vuông tại L => BLC = 90* d) BIC = 90* => SRBI là hình chữ nhật => RS = BI DF = DL và OF = OL => OD là trung trực của FL =>cung BL = BF => BIL = BEF Mà BEF = EBI nên BIL = EBI => BE // LI => BLIE là hình thang cân => LE = BI Mà RS = BI (cmt) Nên EL = RS => DE + DF = RS

Chào người đẹp

a) Dễ quá

b)Quá dễ

 c) ko khó

DF = DL => DB là đường trung trực của FL

=> BD vuông góc và  chia FL ra 2 đoạn bằng nhau

hay OB vừa đg cao vừa đường trung tuyến

=> tam giác FOL cân

=>OF= OL

=>BLC=90độ

chắn nữa đường tròn

d) dễ quá khỏi làm

d)Gọi Q là giao điểm của (O) và SC

Vì EF song song với BQ (do RSQ=BQC=90)

=>EQ=BF;BF=BL=>EQ=BF=BL

=>góc EBQ=BQL(cùng nhìn 2 cung bằng nhau)

Mà EQ=BL

=>tứ giác BEQL là hình thang cân 

=>BQ=EL

mà tứ giác SQBR là hình chữ nhật =>RS=BQ

EL=DE+DL

=>...........

hsg có mấy chỗ tự hiểu

Anh Nguyễn Tuấn ơi, em không hiểu ngay câu c chổ DB là phân giác khi chỉ có một dữ kiện : DF = DL đó ạ . Anh giải thích rõ ra dùm em được không ạ?

tơ cũng đang muốn hỏi câu này đây