Gọi d là  UCLN của tử và mẫu

12n+1 chia hết cho d                  60n+5 chia hết cho d

                                =>

30n+2 chia hết cho d                  60n+4 chia hết cho d

=>(60n+5)-(60n+4) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

d thuộc Ư(1)=1

ƯCLN(12n+1;30n+2)=1

Vậy 12n+1/30n+2 là p/s tối giản

Bạn xem ở đây: Giúp tôi giải toán - Hỏi đáp, thảo luận về toán học - Học toán với OnlineMath hoặc 

Giúp tôi giải toán - Hỏi đáp, thảo luận về toán học - Học toán với OnlineMath

Gọi d = ƯCLN (12n + 1, 30n + 1)

=> 12n + 1 chia hết cho d

và 30n + 1 chia hết cho d

=> 5(12n + 2) = 60n + 10 chia hết cho d

và 2(30n + 1) = 60n + 2 chia hết cho d

=> (60n + 10) - (60n + 2) = 8   chia hết cho d => d = 1, 2, 4 hoặc 8

Do 12n + 1 là số lẻ nên d không thể bằng 2, 4, 8 . vậy d = 1

=> phân số đã cho là phân số tối giản 

a, Gọi d là ƯC(12n + 1; 30n + 2 ), ta có :

12n + 1 chia hết cho d => 5( 12n + 1 ) chia hết cho d

30n + 2 chia hết cho d => 2 ( 30n + 2 ) chia hết cho d

-> 5( 12n + 1 ) - 2( 30n + 2 ) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

vậy d = 1 nên 12n + 1 và 30n + 2 nguyên tố cùng nhau

=> \(\frac{12n+1}{30n+2}\)là phân số tối giản

b, ta có : \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\)

.....

\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}=\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

Vậy \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}< 1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1\)

a/

\(Q\left(2\right).Q\left(-1\right)=\left(4a+2b+c\right)\left(a-b+c\right)=\left(5a+b+2c-a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\)

\(=\left(-a+b-c\right)\left(a-b+c\right)=-\left(a-b+c\right)^2\le0\)

b/

Q(x) = 0 với mọi x, suy ra các điều sau:

\(\Rightarrow Q\left(0\right)=c=0\); \(Q\left(1\right)=a+b+c=a+b=0\); \(Q\left(-1\right)=a-b+c=a-b=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)+\left(a-b\right)=0\text{ và }\left(a+b\right)-\left(a-b\right)=0\)\(\Leftrightarrow2a=0\text{ và }2b=0\Leftrightarrow a=b=0\)

Vậy \(a=b=c=0\)

abab=ab.100+ab=ab.101 chia hết cho 101 nên là bội của 101 

b) aaabbb=aaa.1000+bbb=a.111.1000+b.111=111(1000a+b) chia hết cho 37 ( vì 111 chia hết cho 37) 

a)\(abab=ab\cdot100+ab\cdot1=ab\cdot101\)

Vì \(101⋮101\Rightarrow ab\cdot101⋮101\Rightarrow abab⋮101\)

=>abab là bội của 101

b)\(aaabbb=111000\cdot a+b\cdot111\)

Mà \(111000⋮37\)và\(111⋮37\)

\(\Rightarrow aaabbb⋮37\)

=>37 là ước aaabbb

a) Ta có: \(\overline{abab}=\overline{ab}.101⋮101\)

\(\Rightarrow\overline{abab}⋮101\)

b) Ta có: \(\overline{aaabbb}=a.111000+111.b=111.\left(1000.a+b\right)⋮37\) ( vì \(111⋮37\) )

\(\Rightarrow\overline{aaabbb}⋮37\)

Gọi UCLN(2n +5; 3n +7) là d \(\left(d\ge1\right)\)

=> 2n +5 chia hết cho d ; 3n+7 chia hết cho d

=> 3n+7 - (2n+5) = n + 2 chia hết cho d 

=> 2n+4) chia hết cho d

mà 2n+5 = (2n+4) +1 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d 

=> \(d\le1\)mà \(d\ge1\)=> d = 1

Vậy UCLN(2n+5 ; 3n+7) = 1

Gọi d làƯCLN (2n + 5; 3n + 7)

=> 2n + 5  chia hết cho d => 3.(2n + 5) = 6n + 15 chia hết cho d (1) 

=> 3n + 7 chia hết cho d => 2.(3n + 7) = 6n + 14 chia hết cho d (2)

Từ (1) và (2) => (6n + 15) - (6n + 14) = 6n + 15 - 6n - 14 = 1 chia hết cho d

=> d = 1

=>ƯWCLN (2n + 5; 3n + 7) = 1 (Đpcm).

1/1.2 +1/2.3 +1/3.4 +...+ 1/49.50

=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/49-1/50

=1-1/50<1

1/1.2 + 1/2.3 +1/3.4 + ... + 1/49.50 ( chỗ này 49.50 chứ ko phải 49+50 đâu nha)

= 1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/49-1/50 (-1/2+1/2 là hết cứ như z thì chỉ còn lại 1-1/50)

=1-1/50 <1 

Sửa lại đề: Chứng tỏ rằng \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+.........+\frac{1}{49.50}< 1\)

Ta có: \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...........+\frac{1}{49.50}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+.........+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(=1-\frac{1}{50}< 1\left(đpcm\right)\)