Áp dụng bđt AM-GM ta có:

\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=x\)

\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{y^2}{x+z}.\frac{x+z}{4}}\ge y\)

\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{z^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}\ge z\)

Cộng từng vế các bđt trên ta được:

\(P+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{x+y+z}{2}=1\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Vậy Min P=1 \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

anh Châu ơi, 1+1+1 đâu có = 2 anh.

à anh xl nhầm x=y=z=\(\frac{2}{3}\)

\(x^2\left(y^2+z^2-x^2\right)+y^2\left(z^2+x^2-y^2\right)+z^2\left(x^2+y^{ 2}-z^2\right)\)

\(=x^2\left[\left(y+z\right)^2-x^2-2yz\right]+y^2\left[\left(z+x\right)^2-y^2-2zx\right]+z^2\left[\left(x+y\right)^2-z^2-2xy\right]\)

\(=x^2\left[\left(y+z-x\right)\left(y+z+x\right)-2xy\right]+y^2\left[\left(z+x-y\right)\left(z+x+y\right)-2zx\right]\)

\(+z^2\left[\left(x+y-z\right)\left(x+y+z\right)-2xy\right]\)

\(=x^2\left[\left(y+z-x\right).0-2yz\right]+y^2\left[\left(z+x-y\right).0-2zx\right]+z^2\left[\left(x+y-z\right).0-2xy\right]\)

\(=x^2\left(-2yz\right)+y^2\left(-2zx\right)+z^2\left(-2xy\right)\)\(=-2x^2yz-2xy^2z-2xyz^2\)

\(=-2xyz\left(x+y+z\right)=-2xyz.0=0\)

\(x+y+z=0\)

⇔\(-x=y+z\)

⇔\(x^2=\left(y+z\right)^2\) 

⇔\(x^2=y^2+2yz+z^2\) 

⇔\(y^2+z^2-x^2=-2yz\)

Tương tự:

\(z^2+x^2-y^2=-2zx\)

\(x^2+y^2-z^2=-2xy\)

➞ S = \(\dfrac{1}{-2xy}+\dfrac{1}{-2yz}+\dfrac{1}{-2zx}=\dfrac{x+y+z}{-2xyz}=0\) 

Vậy S = 0

Ta có:

\(x+y+z=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=\left(-z\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+2xy=z^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2-z^2=-2xy\)

Tương tự ta được:
\(S=\frac{1}{-2xy}+\frac{1}{-2yz}+\frac{1}{-2zx}=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{x+y+z}{xyz}=0\)

Vậy S=0

1/x+1/y-1/z=(yz+xz-xy)/(xyz)=0 vì x,y,z#0 =>yz+xz-xy=0

x^2 + y^2 +z^2=(x+y-z)^2 +2(xz+yz-xy)=4

a) Mình làm lại , mk thiếu dấu

Ta có : y ≤ 1 ⇒ x ≥ xy ( x > 0) ( 1)

Tương tự : y ≥ yz ( y > 0) ( 2) ; z ≥ xz ( z > 0) ( 3)

Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3) , ta có :

x + y + z ≥ xy + yz + zx

⇔ x + y + z - xy - yz - xz ≥ 0 ( *)

Lại có : x ≤ 1 ⇒ x - 1 ≤ 0 ( 4)

Tương tự : y - 1 ≤ 0 ( 5) ; z - 1≤ 0 ( 6)

Nhân vế với vế của ( 4 ; 5 ; 6) , ta có :

( x - 1)( y - 1)( z - 1) ≤ 0

⇔ x + y + z - xy - yz - zx + xyz - 1 ≤ 0

⇔ x + y + z - xy - yz - zx ≤ 1 - xyz ( 7)

Do : 0 ≤ x , y , z ≤ 1 ⇒ 0 ≤ xyz ⇒ - xyz ≤ 0 ⇒ 1 - xyz ≤ 1 ( 8)

Từ ( 7;8 ) ⇒ x + y + z - xy - yz - zx ≤ 1 ( **)

Từ ( * ; **) ⇒ đpcm