Câu a) 

Ta có a + b \(\ge\)1 => a \(\ge\) 1 - b

Nên a² + b² \(\ge\) (1 - b)² + b² = 2b² - 2b + 1 = 2(b² - 2b.1/2 + 1/4 + 1/2) = 2(b - 1/2)² + 1 \(\ge\) 1

Câu b) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

(x + y)² = (1.x + 1.y)² \(\le\) (1² + 1²)(x² + y²) = 2.1 = 2

Dấu "=" xảy ra <=> x = y

câu1 : cần sửa lại là A²  + B² \(\ge\frac{1}{2}\)

Ta chứng minh được : (A+B)² \(\le2.\left(A^2+B^2\right)\) (*)

<=> A²  + B²  + 2A.B \(\le\) 2. (A²  + B²)

<=> 0 \(\le\) A²  + B²  - 2.A.B <=> 0 \(\le\) (A-B)² luôn đúng => (*) đúng

b) Áp sung câu a => (x+y)² \(\le\)2.(x² + y²) = 2 => đpcm

Vì \(0\le a,b,c\le2\)nên:

\(abc+\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow abc+2bc-abc+2ac-4c+2ab-4b-4a+8\ge0\)

\(\Leftrightarrow2bc+2ac+2ab-4\left(a+b+c\right)+8\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac\right)-12+8\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac\right)\ge4\)

Do đó: \(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ac\right)\le3^2-4=5\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow\)(a,b,c) là các hoán vị của (0,1,2))