Tự vẽ hình!

a) \(\frac{BE}{EN}=\frac{BQ}{QF}=\frac{BQ}{MQ}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}\)

=> DE//NC hoặc DE//AC

b) Do DE//AC nên:

\(\frac{DE}{CN}=\frac{BD}{BC}\Rightarrow DE=\frac{BD}{BC}.CN\left(1\right)\)

Tương tự, ta có:

\(DF=\frac{CD}{BC}.BM\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(=\frac{DE}{DF}=\frac{BD}{CD}\cdot\frac{CN}{BM}\)

Mà: \(\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\)và \(\frac{CN}{BM}=\frac{AC}{AB}\)

Nên \(\frac{DE}{DF}=1\Rightarrow DE=DF\)

=> \(\widehat{D_1}=\widehat{DAC}=\widehat{DAB}=\widehat{D_2}\)

\(\Rightarrow\Delta ADE=\Delta ADF\)

\(\Rightarrow AE=AF\)

CM AE =AF nhé! mk nhầm

 Là số 209

a) △ABC△ABC có AD phân giác:

=>BDDC=ABAC=>BDDC=ABAC

△BEQ △BNP△BEQ △BNP

=>BEEN=BQQP=>BEEN=BQQP

△BQM △BAC△BQM △BAC

=>BQQM=ABAC=BDDC=BQQP=BEEN=>BQQM=ABAC=BDDC=BQQP=BEEN

=>BEEN=BDDC=>BEEN=BDDC

Câu b: C/m tương tự DF//AB

dùng tính chất tỉ lệ thức, ....

=>đpcm

a) Xét t/giác HBA và t/giác ABC

có: \(\widehat{B}\):chung

 \(\widehat{BHA}=\widehat{A}=90^0\)(gt)

=> t/giác HBA đồng dạng t/giác ABC (g.g)

b) Xét t/giác ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC² (định lí Pi - ta - go)

=> AC² = BC² - AB² = 10² - 6² = 64

=> AC = 8 (cm)

Ta có: t/giác HBA đồng dạng t/giác ABC

=> HB/AB = AH/AC = AB/BC

hay HB/6 = AH/8 = 6/10 = 3/5

=> \(\hept{\begin{cases}HB=\frac{3}{5}.6=3,6\left(cm\right)\\AH=\frac{3}{5}.8=4,8\left(cm\right)\end{cases}}\)

c) Xét tứ giác AIHK có \(\widehat{A}=\widehat{AKH}=\widehat{AIH}=90^0\)

=> AIHK là HCN => \(\widehat{AIK}=\widehat{AHK}\)(cùng = \(\widehat{IKH}\)) (1)

Ta có: \(\widehat{AHK}+\widehat{KHC}=90^0\)(phụ nhau)

 \(\widehat{KHC}+\widehat{C}=90^0\)(phụ nhau)

=> \(\widehat{AHK}=\widehat{C}\) (2)

Từ (1) và )2) => \(\widehat{AIK}=\widehat{C}\)

Xét t/giác AKI và t/giác ABC

có: \(\widehat{A}=90^0\): chung

 \(\widehat{AIK}=\widehat{C}\)(cmt)

=> t/giác AKI đồng dạng t/giác ABC
=> AI/AC = AK/AB => AI.AB = AK.AC 

d) Do AD là đường p/giác của t/giác ABC =>  \(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{BC-DC}{DC}=\frac{BC}{DC}-1\)

<=> \(\frac{10}{DC}-1=\frac{6}{8}\) <=> \(\frac{10}{DC}=\frac{7}{4}\) <=> \(DC=\frac{40}{7}\)(cm)

=> BD = 10 - 40/7 = 30/7 (cm)

DE là đường p/giác của t/giác ABD => \(\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EB}\)(t/c đg p/giác)

DF là đường p/giác của t/giác ADC => \(\frac{DC}{AD}=\frac{FC}{AF}\)

Khi đó: \(\frac{EA}{EB}\cdot\frac{DB}{DC}\cdot\frac{FC}{FA}=\frac{AD}{DB}\cdot\frac{AB}{AC}\cdot\frac{DC}{AD}=\frac{AB\cdot DC}{BD.AC}=\frac{6\cdot\frac{40}{7}}{8\cdot\frac{30}{7}}=1\) (ĐPCM)