Lời giải:
$2a=78-3a-6b=3(26-a-2b)\vdots 3$

$\Rightarrow a\vdots 3$. Mà $a$ nguyên tố nên $a=3$

Khi đó:
$2.3+3b+6c=78$

$3b+6c=72$

$b+2c=72:3=24$

$\Rightarrow b=24-2c\vdots 2$. Mà $b$ nguyên tố nên $b=2$

Suy ra:

$2+2c=24$

$2c=24-2=22$

$c=22:2=11$ (tm)

Vậy $(a,b,c)=(3,2,11)$

Ta có: 2a và 6c là các số chẵn, kết quả 78 là số chẵn

Suy ra 3b phải là số chẵn => b là số chẵn, mà b là số nguyên tố

Suy ra b=2 (2 là số nguyên tố chẵn duy nhất) 
Vậy ta có: 2a+6+6c = 78

Suy ra 2a+ 6c= 72

Suy ra a+ 3c = 36( Chia cả 2 vế cho 2) 
Ta có 3c chia hết cho 3, kết quả 36 cũng chia hết cho 3

Suy ra a phải chia hết cho 3. Mà a là số nguyên tố

Suy ra a=3 (số nguyên tố duy nhất chia hết cho 3). 
Suy ra 3+3c = 36 => c=11 (chấp nhận vì 11 là số nguyên tố). 
Suy ra a=3, b=2, c=11.