Ví dụ: 2.8-1=15 chia hết cho 3

Vậy k thể chứng minh 2n-1 là số nguyên tố

\(2^{2n}\left(2^{2n+1}-1\right)-1=2.16^n-4^n-1\)

#Chứng minh quy nạp: \(2.16^n-4^n-1\) chia hết cho 9 (1)
+Với n = 1; 2; 3 thì (1) đúng.
+Giả sử (1) đúng với n = k , tức là \(2.16^k-4^k-1\)\(\left(k\ge1\right)\) chia hết cho 9.
Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là chứng minh số sau chia hết cho 9:
\(2.16^{k+1}-4^{k+1}-1=16.2.16^k-4.4^k-1\)

\(=16\left(2.16^k-4^k-1\right)+12.4^k+15\)
\(\text{Mà }2.16^k-4^k-1\text{ chia hết cho 9 nên ta cần chứng minh }12.4^k+15\text{ chia hết cho 9, hay }4.4^k+5\text{ chia hết cho 3}\)

#Quy nạp phụ: \(4.4^n+5\)chia hết cho 3 (2)
+n = 1; 2; 3 thì (2) đúng
+Giả sử (2) đúng với n = k, tức là 4.4^k + 5 chia hết cho 3.
Ta chứng minh (2) đúng với n = k+1, tức là chứng minh số sau chia hết cho 3:
4.4^k+1 + 5 = 4.4.4^k  + 5 = 4(4.4^k + 5) - 15 chia hết cho 3 vì 4.4^k + 5 chia hết cho 3 và 15 chia hết cho 3.
Vậy 4.4ⁿ + 5 chia hết cho 3 với mọi n.

=> 12.4^k + 15 chia hết cho 9
Mà 2.16^k - 4^k - 1 chia hết cho 9
=> 16.(2.16^k - 4^k -1) + 12.4^k + 15 chia hết cho 9

Vậy \(2.16^n-4^n-1\) chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n (đpcm)

Gọi ƯCLN(n + 1; 2n + 3) = d

Ta có : n + 1 chia hết cho d => 2(n + 1) chia hết cho d => 2n + 2 chia hết cho d

             2n + 3 chia hết cho d

=> (2n + 3) - (2n + 2) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1 hoặc -1

=> n + 1 và  2n + 3 nguyên tố cùng nhau

Gọi ƯCLN(n + 1; 2n + 3) là d (d thuộc N*)

=> n + 1 chia hết cho d => 2(n + 1) chia hết cho d

     2n + 3 chia hết cho d 

=> (2n + 3) - 2(n + 1) chia hết cho d

=> 2n + 3 - 2n - 2 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1 (Vì d thuộc N*)

=> ƯCLN(n + 1; 2n + 3) = 1

hay 2 số này nguyên tố cùng nhau

Vậy...

Đặt UCLN(n + 1 ; 2n  + 3) = d (1)

n + 1 chia hết cho d=> 2n  + 2 chia hết cho d

mà 2n + 3 chia hết cho d

=> [(2n +3)-(2n+2)] chia hết cho d

1 chia het cho d => d = 1

Thay d=  1 vào (1) ta có: UCLN(n + 1 ; 2n + 3) = 1

=> ĐPCM 

số có 1 chữ số x với 2 thì tổng là :0;2;4;6;8;10;12;14;16;18

2n+11.....1 chia hết 3

Có: 2n + 111...11=3n-n+111....111(n chữ số 1) = 3n+(111...111- n)

Ta thấy: 3n chia hết cho 3

11...11(n chữ số 1) có tổng các chữ số là n , suy ra 11...11(n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3, suy ra hiệu của 11...1(n chữ số 1)-n sẽ chia hết cho 3.

Suy ra 3n+ (111...1(n chữ số 1)-n chia hết cho 3

 Vậy 2n +111...1(n chữ số 1) chia hết cho 3(đpcm)

Nếu n không chia hết cho 3 thì n:3 dư 1 hoặc dư 2

Nếu n:3 dư 1 thì 2n+1 chia hết cho 3 

Nếu n:3 dư 2 thì n+1 chia hết cho 3 

Suy ra n.(n+1)(2n+1) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên

Vậy n.(n+1).(2n+1) chia hết cho 3 với mọi số n