Chu vi của 1 khung thép có hình chữ nhật là:
`(35+30).2 = 130 (cm)`
Đổi : `260m = 26 000 cm`

Số khung thép mà người thợ có thể làm với `26 000 `cm dây thép là
` 26000 : 130 = 200 `( khung thép)

1: Xét tứ giác MAIE có \(\hat{MAI}+\hat{MEI}=90^0+90^0=180^0\)

nên MAIE là tứ giác nội tiếp

2: Xét tứ giác NEIB có \(\hat{NEI}+\hat{NBI}=90^0+90^0=180^0\)

nên NEIB là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{ENI}=\hat{EBI}\)

MAIE là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{IME}=\hat{IAE}\)

Xét ΔEAB và ΔIMN có

\(\hat{EAB}=\hat{IMN}\)

\(\hat{EBA}=\hat{INM}\)

Do đó: ΔEAB~ΔIMN

=>\(\frac{EA}{IM}=\frac{EB}{IN}\)

=>\(EA\cdot IN=EB\cdot IM\)

Vì $K$ là trung điểm $HE$ và $N$ là trung điểm $OK$, theo công thức tọa độ/vectơ trung điểm:$$\vec{ON} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OE}}{4}$$
Xét đoạn $MP$: $M$ là trung điểm $BE$, $P$ là trung điểm $AC$.Trung điểm của đoạn $MP$ có tọa độ/vectơ là:$$\frac{\vec{OM} + \vec{OP}}{2} = \frac{\frac{\vec{OB} + \vec{OE}}{2} + \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2}}{2} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OE}}{4}$$
Hai kết quả trùng nhau $\Rightarrow N$ là trung điểm $MP \Rightarrow M, N, P$ thẳng hàng (đpcm).

`a)` vì `ΔODC` cân tại `O`

`=> OD = OC`

Xét `ΔODC` có :

`OB/OD = OA/OC ( OD = OC , OB = OA)`

`=> AB // DC` ( định lý thales đảo)

`b)` Ta có :\(\begin{cases}OB+BD=OD\\ OA+AC=OC\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}BD=OD-OB\\ AC=OC-OA\end{cases}\)

Mà `OD=OC ; OB=OA`

`=> DB=AC`

lại có : \(\begin{cases}\hat{OBA}+\hat{DBA}=180^0\\ \hat{OAB}+\hat{CAB}=180^0\end{cases}\) (kể bù)

`=>`\(\begin{cases}\hat{DBA}=180^0-\hat{OBA}\\ \hat{CAB}=180^0-\hat{OAB}\end{cases}\)

Mà \(\hat{OBA}=\hat{OAB}\) ( Vì `ΔOBA` cân tại `O`)

`=>`\(\hat{DBA}=\hat{CAB}\)

Xét `ΔDBA` và `ΔCAB` có :

\(\begin{cases}DB=AC\left(\operatorname{cm}t\right)\\ \hat{DBA}=\hat{CAB}\left(\operatorname{cm}t\right)\\ AB\ch ung\end{cases}\)

`=> ΔDBA=ΔCAB`(c-g-c)`

Vậy ...

Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của A, B, C lên d Qua G kẻ đường thẳng vuông góc với d, cắt d tại G' Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên G nằm trên trung tuyến và chia trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1 Ta có khoảng cách từ một điểm đến d thay đổi tuyến tính theo vị trí trên đoạn thẳng. Do đó: GG' = (AA' + BB' + CC')/3 Suy ra: AA' + BB' + CC' = 3GG' Vậy điều phải chứng minh