a.

\(\Leftrightarrow na_{n+2}-na_{n+1}=2\left(n+1\right)a_{n+1}-2\left(n+1\right)a_n\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a_{n+2}-a_{n+1}}{n+1}=2.\dfrac{a_{n+1}-a_n}{n}\)

Đặt \(b_n=\dfrac{a_{n+1}-a_n}{n}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b_1=\dfrac{a_2-a_1}{1}=1\\b_{n+1}=2b_n\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow b_n=2^{n-1}\Rightarrow a_{n+1}-a_n=n.2^{n-1}\)

\(\Leftrightarrow a_{n+1}-\left[\dfrac{1}{2}\left(n+1\right)-1\right]2^{n+1}=a_n-\left[\dfrac{1}{2}n-1\right]2^n\)

Đặt \(c_n=a_n-\left[\dfrac{1}{2}n-1\right]2^n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c_1=a_1-\left[\dfrac{1}{2}-1\right]2^1=2\\c_{n+1}=c_n=...=c_1=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a_n=\left[\dfrac{1}{2}n-1\right]2^n+2=\left(n-2\right)2^{n-1}+2\)

b.

Câu b này đề sai

Với \(n=1\Rightarrow\sqrt{a_1-1}=0< \dfrac{1\left(1+1\right)}{2}\)

Với \(n=2\Rightarrow\sqrt{a_1-1}+\sqrt{a_2-1}=0+1< \dfrac{2\left(2+1\right)}{2}\)

Có lẽ đề đúng phải là: \(\sqrt{a_1-1}+\sqrt{a_2-1}+...+\sqrt{a_n-1}\ge\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}\)

Ta sẽ chứng minh: \(\sqrt{a_n-1}\ge n-1\) ; \(\forall n\in Z^+\)

Hay: \(\sqrt{\left(n-2\right)2^{n-1}+1}\ge n-1\)

\(\Leftrightarrow\left(n-2\right)2^{n-1}+2n\ge n^2\)

- Với \(n=1\Rightarrow-1+2\ge1^2\) (đúng)

- Với \(n=2\Rightarrow0+4\ge2^2\) (đúng)

- Giả sử BĐT đúng với \(n=k\ge2\) hay \(\left(k-2\right)2^{k-1}+2k\ge k^2\)

Ta cần chứng minh: \(\left(k-1\right)2^k+2\left(k+1\right)\ge\left(k+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(k-1\right)2^k+1\ge k^2\)

Thật vậy: \(\left(k-1\right)2^k+1=2\left(k-2\right)2^{k-1}+2^k+1\ge2k^2-4k+2^k+1\)

\(\ge2k^2-4k+5=k^2+\left(k-2\right)^2+1>k^2\) (đpcm)

Do đó:

\(\sqrt{a_1-1}+\sqrt{a_2-1}+...+\sqrt{a_n-1}>0+1+...+n-1=\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}\)

c.

Ta có:

\(\dfrac{a_n}{3^n}=\dfrac{\left(n-2\right)2^{n-1}+2}{3^n}=\dfrac{n}{2\left(\dfrac{3}{2}\right)^n}-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+\dfrac{2}{3^n}\)

Đặt \(S_n=\sum\limits^n_{i=1}\dfrac{a_n}{3^n}=\dfrac{1}{2}\sum\limits^n_{i=1}\dfrac{n}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^n}-\sum\limits^n_{j=1}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+2\sum\limits^n_{k=1}\dfrac{1}{3^n}=\dfrac{1}{2}S'-2+2\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+1-\dfrac{1}{3^n}\)

Xét \(S'=\sum\limits^n_{i=1}\dfrac{n}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^n}\)

\(S'=\sum\limits^n_{i=1}\dfrac{n}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^n}=\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}+\dfrac{2}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}+\dfrac{3}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^3}+...+\dfrac{n}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^n}\)

\(\dfrac{3}{2}S'=1+\dfrac{2}{\dfrac{3}{2}}+\dfrac{3}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}+...+\dfrac{n}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}S'=1+\dfrac{1}{\left(\dfrac{3}{2}\right)}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}+...+\dfrac{1}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}}-\dfrac{n}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^n}=\dfrac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n}{1-\dfrac{2}{3}}=3-3\left(\dfrac{2}{3}\right)^n-n\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\)

\(\Rightarrow S_n=2-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n-\dfrac{1}{3^n}-n\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\)

\(\Rightarrow\lim\left(S_n\right)=2\)

Câu 1 : Qua nhận xét về phân tử khối và liên kết hidro trong mỗi hợp chất, ta có :

Thứ tự : Axit > Ancol > Este > Hidrocacbon

Ta thấy : Glyxin ở dạng ion lưỡng cực nên có nhiệt độ sôi cao hơn axit propionic

Vậy, theo chiều tăng dần nhiệt độ sôi, nhiệt độ nóng chảy là :

Glyxin > Axit propionic > Butan-1-ol >Metyl axetat > Butan

\(\left\{{}\begin{matrix}Zn:3a\\ZnO:a\\ZnCO_3:a\end{matrix}\right.\). Suy ra : 3a.65 + 81a + 125a= 24,06 ⇒ a = 0,06

\(n_{Zn^{2+}} = 3a + a + a = 0,3(mol)\)

\(n_{SO_4^{2-}} = n_{BaSO_4} = \dfrac{79,22}{233} = 0,34(mol)\)

\(n_{NH_4^+} = n_{NaOH} - 4n_{Zn^{2+}} = 0,01(mol)\)

BTĐT trong Z : \(n_{Na^+} = 0,34.2 - 0,3.2 - 0,01 = 0,07(mol)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}Zn\\ZnO\\ZnCO_3\end{matrix}\right.\)+ \(\left\{{}\begin{matrix}H_2SO_4:0,34\\NaNO_3:0,07\end{matrix}\right.\)→ \(\left\{{}\begin{matrix}NO:x\\N_2O:y\\CO_2:0,06\\H_2:z\end{matrix}\right.\) + \(\left\{{}\begin{matrix}Zn^{2+}:0,3\\SO_4^{2-}:0,34\\NH_4^+:0,01\\Na^+:0,07\end{matrix}\right.\) + H₂O

Ta có : 30x + 44y + 0,06.44 + 2z = (x + y + 0,06 + z).14,533.2

BTNT với N : x + 2y + 0,01 = 0,07

Phân bổ H⁺ : 0,34.2 = 0,06.2 + 0,06.2 + 4x + 10y + 2z + 0,01.10

Suy ra : x = 0,04 ; y = 0,01 ; z = 0,04. Vậy : V = (0,04 + 0,01 + 0,06 + 0,04).22,4 = 3,36(lít)

wanna try something amazing :( 

X gồm : CO₂(a mol) ; NO(b mol)

Ta có : 

a + b= 1

44a + 30b = 1.17,8.2

Suy ra : a = 0,4 ; b = 0,6

Hỗn hợp ban đầu gồm : \(\begin{matrix}FeO:x\left(mol\right)\\Fe\left(OH\right)_2:y\left(mol\right)\\FeCO_3:a=0,4\left(mol\right)\\Fe_3O_4:z\left(mol\right)\end{matrix}\)

Ta có : z = 0,25(x + y + 0,4 + z)

⇒ x + y - 3z + 0,4 = 0(1)

Bảo toàn electron : x + y + 0,4 + z = \(3n_{NO}\)=1,8(2)

Từ (1)(2) suy ra : z = 0,45 ; x + y = 0,95

Phân bổ H⁺ :

\(2H^++ O^{2-} \to H_2O\\ OH^- + H^+ \to H_2O\\ 2H^+ + O_{trong\ Fe_3O_4}^{2-} \to H_2O\\ CO_3^{2-} + 2H^+ \to CO_2 + H_2O\\ 4H^+ + NO_3^- \to NO + 2H_2O\)

Vậy : 

\(n_{HNO_3} = n_{H^+} =(x + y).2 + 8z + 2n_{CO_2} + 4n_{NO}=0,95.2 + 0,45.8 + 0,4.2 + 0,6.4=8,7(mol)\)

cũng đang vướng bài này 

May quá cũng không ế các bác ạ :< 

Đáp án:

Ta có: \(n_{NO}=0,6\left(mol\right);n_{CO_2}=0,4\left(mol\right)\)

Nhận thấy tất cả các chất đều cho 1e

Do đó bảo toàn e ta có: \(n_{hh}=3.n_{NO}=3.0,6=1,8\left(mol\right)\)

\(\Rightarrow n_{Fe_3O_4}=0,45\left(mol\right)\Rightarrow\Sigma n_{FeO;Fe\left(OH\right)_2}=0,95\left(mol\right)\)

Nhận thấy \(O;2OH\) đều cần \(2H^+\) để phản ứng

Do đó bảo toàn H+ ta có: \(n_{HNO_3}=4.n_{NO}+2.n_{CO_3^{2-}}+2.\Sigma n_{O;OH}+2.n_O=8,7\left(mol\right)\)

Nguồn 8 pin mà vẽ 2 pin, chậc chậc :v

a/ \(\xi=8.E=24\left(V\right)=U_V\)

\(r_b=8r=8.0,25=2\left(\Omega\right)\)

\(R_2=\dfrac{U^2_{dm}}{P_{dm}}=\dfrac{36}{3}=12\left(\Omega\right);I_{dm}=\dfrac{P_{dm}}{U_{dm}}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\left(A\right)\) 

\(PTMD:R_4nt\left[\left(R_1ntR_2\right)//R_3\right]\) \(\Rightarrow R_{td}=R_4+\dfrac{\left(R_1+R_2\right).R_3}{R_1+R_2+R_3}=...\left(\Omega\right)\)

\(\Rightarrow I=I_A=\dfrac{\xi}{R_{td}+R}=\dfrac{24}{2+R_{td}}=...\left(A\right)\) 

b/ \(I_4=I\Rightarrow U_4=R_4.I=...\left(V\right)\)

\(\Rightarrow U_{12}=U_3=\xi-I.r-U_4=...\left(V\right)\)

\(\Rightarrow I_{12}=I_2=\dfrac{U_{12}}{R_1+R_2}=...\left(A\right)\) 

\(\left[{}\begin{matrix}I_2< I_{dm}\Rightarrow den-sang-yeu-hon-binh-thuong\\I_2>I_{dm}\Rightarrow den-sang-manh-hon-binh-thuong\\I_2=I_{dm}\Rightarrow den-sang-binh-thuong\end{matrix}\right.\)

P/s: Thầy cô thông cảm em vừa ngủ dậy nên lười dậy lấy máy tính tính toán lắm ạ :(

Đề này của Chuyên LHP - TPHCM không phải Chuyên LHP - Nam Định nha mọi người!

Đề này được bạn Anh Kỳ gửi! (https://hoc24.vn/vip/202859493659)

À, anh có đề lớp 12 thì đăng lên nữa anh nhé, em muốn xem thử đề l12 ạ. ^^

Lời giải:

Ta sẽ đi CM đẳng thức tổng quát:

\((C^1_{2n})^2-(C^2_{2n})^2+(C^3_{2n})^2-....+(C^{2n-1}_{2n})^2-(C^{2n}_{2n})^2=C^n_{2n}+1\) với $n$ lẻ.

Theo nhị thức Newton ta có:

\((x^2-1)^{2n}=C^0_{2n}-C^1_{2n}x^2+C^2_{2n}x^4-....-C^n_{2n}x^{2n}+...+C^{2n}_{2n}x^{4n}\). Trong này, hệ số của $x^{2n}$ là $-C^n_{2n}$

Tiếp tục sử dụng nhị thức Newton:

\((x^2-1)^{2n}=(x+1)^{2n}(x-1)^{2n}=(C^0_{2n}+C^1_{2n}+C^2_{2n}x^2+...+C^{2n}_{2n}x^{2n})(C^0_{2n}x^{2n}-C^1_{2n}x^{2n-1}+C^2_{2n}x^{2n-2}-...+C^{2n}_{2n})\). Trong này, hệ số của $x^{2n}$ là

\((C^0_{2n})^2-(C^1_{2n})^2+(C^2_{2n})^2-.....+(C^{2n}_{2n})^2\)

Do đó:

\(-C^n_{2n}=(C^0_{2n})^2-(C^1_{2n})^2+(C^2_{2n})^2-.....+(C^{2n}_{2n})^2\)

\(\Leftrightarrow -C^n_{2n}=1-(C^1_{2n})^2+(C^2_{2n})^2-.....+(C^{2n}_{2n})^2\)

\(\Leftrightarrow (C^1_{2n})^2-(C^2_{2n})^2+...-(C^2_{2n})^2=1+C^n_{2n}\) 

Thay $n=1011$ ta có đpcm.

a) ta có \(I\in\) trung điểm \(TQ\) ; mà \(AQTM\) là hình chữ nhật

\(\Rightarrow I\in\) trung điểm \(AM\) \(\Rightarrow\) \(I\in\) đường thẳng nối trung điểm AB và trung điểm AC

b) đề sai rồi : có thể chứng mk đề sai bằng cách cho \(M⋮\left\{B;C;G\right\}\)

với G là trung điểm BC

thì ta thấy 3 đường thẳng \(TQ\) trong 3 trường hợp này không có giao điểm chung \(\Rightarrow\) đề sai

câu b sai \(\Rightarrow c\) không lm đc

Câu a)

Đặt \(2x=a\). PT trở thành:

\(2\sin ^2a+\sin 3a-1=\sin a\)

\(\Leftrightarrow 2\sin ^2a+\sin (a+2a)-1-\sin a=0\)

\(\Leftrightarrow 2\sin ^2a+\sin a\cos 2a+\cos a\sin 2a-1-\sin a=0\)

\(\Leftrightarrow 2\sin ^2a+\sin a\cos 2a+2\cos ^2a\sin a-1-\sin a=0\)

\(\Leftrightarrow (2\sin ^2a-1)+\sin a\cos 2a+\sin a(2\cos ^2a-1)=0\)

\(\Leftrightarrow -\cos 2a+\sin a\cos 2a+\sin a\cos 2a=0\)

\(\Leftrightarrow \cos 2a(-1+2\sin a)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} \cos 2a=0(1)\\ \sin a=\frac{1}{2}(2)\end{matrix}\right.\)

Từ (1) \(\Rightarrow 2a=\frac{\pi}{2}+k\pi (k\in\mathbb{Z})\)\(\Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{4}\)

Từ (2) \(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a=\frac{\pi}{6}+2k\pi \rightarrow x=\frac{\pi}{12}+k\pi \\ a=\frac{5}{6}\pi+2k\pi \rightarrow x=\frac{5\pi}{12}+k\pi \end{matrix}\right.\)

Bài 2:

\(\sin 2x+\sin 6x+2\sin ^2x-1=0\)

\(\Leftrightarrow \sin 2x+\sin 6x-\cos 2x=0\)

\(\Leftrightarrow \sin 2x+\sin 4x\cos 2x+\cos 4x\sin 2x-\cos 2x=0\)

\(\Leftrightarrow \sin a+\sin 2a\cos a+\cos 2a\sin a-\cos a=0\)

\(\Leftrightarrow \sin a(1+\cos 2a)+\sin 2a\cos a-\cos a=0\)

\(\Leftrightarrow \sin a.2\cos ^2a+\sin 2a\cos a-\cos a=0\)

\(\Leftrightarrow \cos a(2\sin 2a-1)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} \cos a=0(1)\\ \sin 2a=\frac{1}{2}(2)\end{matrix}\right.\)

Từ (1)\(\Rightarrow a=\frac{\pi}{2}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\)

Từ (2) \(\Rightarrow \left[\begin{matrix} 2a=\frac{\pi}{6}+2k\pi \rightarrow x=\frac{\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}\\ 2a=\frac{5\pi}{6}+2k\pi \rightarrow x=\frac{5\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}\end{matrix}\right.\)