Hỏi đáp
Cho đường tròn tâm (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M; N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB < AC; d không đi qua tâm O).
1. Chứng minh: Tứ giác AMON nội tiếp.
2. Tia OI cắt (O) tại K, NK cắt BC tại P. Gọi Q là giao điểm MP và OK. Cm tứ giác CQBN nội tiếp
a) ∆BNC và ∆AMB có : BN =AM (gt)
Góc NBC= góc MAB
BC=AB (vì ∆ABC là tam giác đều) ⇒ ∆BNC= ∆AMB.
b) ∆BNC=∆AMB ⇒ góc AMP= góc BNP
Góc BNP+ góc ANP= 180o (2 góc kề bù) ⇒ góc AMP + góc ANP=180o
Vậy AMPN là một tứ giác nội tiếp
c) Thuận AMPN là tứ giác nội tiếp nên góc A+ góc NPM= 180o
⇒ góc NPM = 180o – góc A= 180o-60o=120o
Góc BPC = góc NPM (2 góc đối đỉnh ⇒ góc BPC= 120o
2 điểm B, C cố định nên khi N di động trên cạnh AB thì điểm P nằm trên cung chứa góc 120o vẽ trên đoạn thẳng BC cố định.
Giới hạn N khác A và B nên P khác B và C
A và P nằm cùng phía với BC,
⇒ P nằm trên cung chứa góc 120o vẽ trên đoạn BC cố định, cung này nằm trên nửa mặt phẳng chứa A bờ BC (P khác B và C)
Đảo Lấy điểm P’ bất kì trên cung chứa góc 1200 vẽ trên BC được xác định ở phần giới hạn BP’ cắt AC tại M’; CP’ cắt AB tại N’
Ta có: góc BP’C= 120o ⇒ góc N’P’M’ = 120o
⇒ góc A+ góc N’P’M’=60o +120o =180o
⇒ AN’P’M’ là tứ giác nội tiếp
⇒ góc BN’C= góc AM’B
∆AM’B và ∆CN’B có góc BN’C= góc AM’B
Góc N’BC= góc M’AB (vì ∆BAC đều)
⇒ ∆AM’B ≈ ∆ BN’C
⇒ \(\dfrac{AM'}{BN'}=\dfrac{AB}{BC}\)== 1 (vì AB=BC) ⇒ BN’=AM’.
Kết luận: Khi N di động trên cạnh AB (N khác A và B) thì quỹ tích các điểm P là cung chứa góc 120o vẽ trên đoạn thẳng BC cố định, cung này nằm trên nửa mặt phẳng chứa A bờ BC (P khác B và C)
Cho (O;AB/2) lấy điểm I sao cho OI=1/3AI .kẻ CD vuông góc vs AB tại I. K thuộc CD . KA cắt đtròn tại M
a) cmr: tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác KCM luôn thuộc đường thẳng cố định
b) K di động trên CD . tìm min DF
cho dường trong tâm O.Từ ddieemr A nằm ngoài đường tròn kẻ 2 tiếp tuyến AB,AC.I là điểm thuộc cung nhỏ BC.Từ I kẻ ID,IE,IF lần lượt vuông góc với AB,BC,AC, IB cắt DE tại M, IC cát EF tại N.Chứng minh tam giác IDE đồng dạng với tam giác IEF.
Tớ cảm ơn nhiều!!!
Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O; 3cm). Vẽ hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh các tứ giác AEHF, BFEC nội tiếp.
b) Chứng minh FA.FB = FC.FH.
c) Tính diện tích hình giới hạn bởi cung nhỏ AC và dây AC của đường tròn (O; 3cm
a: Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\)
nên AEHF là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có
\(\widehat{FHB}=\widehat{EHC}\)
Do đó: ΔHFB\(\sim\)ΔHEC
Suy ra: HF/HE=HB/HC
hay \(HE\cdot HB=HF\cdot HC\)
Ai làm được bài này không giúp tớ với :
1. Chứng minh rằng diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông bằng hai lần diện tích hình tròn nội tiếp hình vuông đó
Ta có: OH là bán kính của đường tròn nội tiếp hình vuông
OA là bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông
Vì trong hình vuông, 2 đường chéo đồng thời là tia phân giác
\(\Rightarrow\) OA là tia phân giác của \(\widehat{A}\)
\(\Rightarrow\widehat{HAO}=45^o\)
Xét \(\Delta HAO\) vuông tại H có \(\widehat{HAO}=45^o\)
\(\Rightarrow\Delta HAO\) vuông cân tại H
\(\Rightarrow HA=HO\)
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
\(OA^2=HA^2+HO^2\)
\(\Leftrightarrow OA^2=2OH^2\)
\(\Rightarrow OA=OH\sqrt{2}\)
Ta có:
Diện tích đường tròn nội tiếp hình vuông là \(S_1=\pi.OH^2\) (đơn vị diện tích) (1)
Diện tích đường tròn ngoại tiếp hình vuông là \(S_2=\pi.OA^2\)
mà \(OA=OH\sqrt{2}\) \(\Rightarrow S_2=\pi.2.OH^2\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) Diện tích đường tròn ngoại tiếp hình vuông bằng 2 lần diện tích đường tròn nội tiếp hình vuông đó
Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R.Trên tia đối của tia AB lấy M sao cho AM=R.Từ M kẻ đường thẳng d vuông góc với BM . gọi N là trung điểm của OA . qua N vẽ dây cung CD của đường tròn .tia BC cắt d tại E, tia BD cát d tại F
chứng minh A là trực tâm của tam giác BEF
a) Trên tia đối của tia ND, lấy điểm J sao cho ND = NJ. Gọi giao điểm của JO và DB là H.
Khi đó ADOJ là hình bình hành, suy ra JO // AD.
Vậy thì \(\widehat{DJO}=\widehat{JDA}\left(1\right)\) (so le trong).
Xét tứ giác MDBJ ta thấy nó cũng là hình bình hành nên JB // MD, từ đó \(\widehat{BJO}=\widehat{MDA}\left(2\right)\) (Hai góc có hai cạnh song song)
Xét tam giác vuông ADB : OH // AD ; AO = OB nên DH = HB và \(OH\perp BD,\) vậy thì tam giác DJB cân tại J, hay JO là phân giác. Vậy \(\widehat{DJO}=\widehat{BJO}\left(3\right)\)
Ta thấy ngay tứ giác MFDA nội tiếp nên \(\widehat{MDA}=\widehat{MFA}\left(4\right)\) (Góc nội tiếp cùng chắn cung AM).
Cũng lại có \(\widehat{ADJ}=\widehat{ABC}\left(5\right)\) (Góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
Từ (1); (2); (3); (4) ;(5) suy ra \(\widehat{MFA}=\widehat{ABC}\Rightarrow\widehat{MAF}=\widehat{CAB}\) (Cùng phụ với hai góc trên)
Từ đó ta có : \(\widehat{FAB}+\widehat{BAC}=180^o\Rightarrow\) F, A, C thẳng hàng hay \(FC\perp BE.\)
Ta có A là giao điểm của hai đường cao BM và FC nên A là trực tâm tam giác BEF (đpcm).
Câu1:Cho nửa đường tròn tâmO đường kính AB. Từ điểm M trên tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến thứ hai MC, hạ CH vuông góc AB,MB cắt(O) tại Q và cắt CH tại N
a. Chứng minh MA2= MQ.MB
b. MO cắt AC tại I. Chứng minh tứ giác AIQM nội tiếp
c.Chứng minh CH=NH
các bạn giúp mk ngay nhé
Từ điểm M ở ngoài đường tròn(O;R) vẽ tiếp tuyến MA đến đường tròn.E là trung điểm AM ; I,H lần lượt là hình chiếu của E và A trên MO. Từ I vẽ tiếp tuyến IK với(O)
a.CMr I nằm ngoài đường tròn( O;R)
b. Qua M vẽ cát tuyến MBC(B nằm giữa M và C) chứng minh rằng tứ giác BHOC nội tiếp
c.CM: HA là tia phân giác của góc BHC và tam giác MIK cân
IK² = IO² - R²
IH² = (MH/2)²= (MA²/2MO)² = (MO² - R²)²/(2MO)²
∆MIK cân <=> IM = IK <=> IH = IK
<=> (MO² - R²)² = 4MO²(IO² - R²)
<=> (MO² + R²)² = (2.MO.IO)²
<=> MO² + R² = 2MO.IO
<=> R² = MO(2IO - MO) = MO.HO đúng
Cho tam giác ABC nôi tiếp đường trong tâm O. Kẻ 2 đường cao BI cà CK (I thuộc AC, K thuộc AB) cùa tam giác ABC.
1) cm BKIC nội tiếp
2)Gọi M ,N lần lượt là giao điểm BI và CK vơi đường tròn (O) M,N khác B,C.chuwnhs minh MN song song IK
3)chứng minh OA vuông góc IK
4)Trong trường hợp tam giác ABC nhọn AB<BC<Ac. Gọi H là giao điểm của BI và CK. Tính số đo góc BAC khi tứ giác BHOC nội tiếp.
1; xét tam giác ABC ta có
BI vuông góc với AC ( giả thiết )
suy ra BIC = 90
CKvuông góc với AB (giả thiết )
suy ra CKB = 90
xét tứ giác BKIC ta có
BIC = CKB = 90 ( chứng minh trên )
mà BIC và CKB là 2 góc kề nhau cùng chắng cung BC suy ra tứ giác BKIC nội tiếp (dpcm)
2; xét (o) ta có
NMB = NCB ( 2 góc nội tiếp cùng chắng cung NB )
xét tứ giác BKIC ta có
KIB = KCB ( 2 góc nội tiếp cùng chắng cung KB )
suy ra NMB = KIB (cùng bằng NCB )
mà NMB và KIB nằm ở vị trí đồng vị
suy ra MN song song với IK (dpcm)
3;4 tự giải đi
