Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

a) thay \(m=-1\) vào phương trình ta có : \(x^2-2x-11=0\)

\(\Delta'=\left(-1\right)^2-1\left(-11\right)=1+11=12>0\)

\(\Rightarrow\) phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(x_1=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}=\dfrac{1+\sqrt{12}}{1}=1+2\sqrt{3}\)

\(x_2=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=\dfrac{1-\sqrt{12}}{1}=1-2\sqrt{3}\)

vậy với \(m=-1\) phương trình có 2 nghiệm \(x=1\pm2\sqrt{3}\)

b) ta có : \(\Delta'=\left(m+2\right)^2-1\left(m^2-12\right)\)

\(\Delta'=m^2+4m+4-m^2+12=4m+16\)

phương trình có nghiệm kép \(\Leftrightarrow\Delta'=0\Leftrightarrow4m+16=0\)

\(\Leftrightarrow4m=-16\Leftrightarrow m=\dfrac{-16}{4}=-4\)

khi đó phương trình có nghiệm kép là : \(\dfrac{-b'}{a}=m+2=-4+2=-2\)

vậy \(m=-4\) thì phương trình có nghiệm kép và nghiệp kép đó bằng \(-2\)

c) (*) phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta'>0\)

\(\Leftrightarrow4m+16>0\Leftrightarrow4m>-16\Leftrightarrow m>\dfrac{-16}{4}=-4\)

(*) phương trình vô nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'< 0\)

vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi \(m>-4\) ; vô nghiệm khi \(m< -4\)

a) thay \(x=3\) vào phương trình ta có : \(2.3^2-\left(m+4\right).3+m=0\)

\(\Leftrightarrow18-3m-12+m=0\Leftrightarrow-2m+6=0\Leftrightarrow2m=6\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{6}{2}=3\)

thay \(m=3\) vào phương trình ta có : \(2x^2-7x+3=0\)

\(\Rightarrow\) tổng của 2 nghiệm là : \(S=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{7}{2}\)

\(\Rightarrow x_1+x_2=\dfrac{7}{2}\Leftrightarrow x_1+3=\dfrac{7}{2}\Leftrightarrow x_1=\dfrac{1}{2}\)

vậy \(m=3\) và nghiệm còn lại của phương trình là \(\dfrac{1}{2}\)

b) ta có : \(\Delta=\left(m+4\right)^2-4.2.m=m^2+8m+16-8m\)

\(\Delta=m^2+16\ge16>0\forall m\)

\(\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi \(m\) (đpcm)

x² -4xy+29y² =400

=>x² -4xy+4y² +25y² =400

=>(x-2y)² +(5y)² =400=0+20² =0² +(-20)²=...

Đến đây thì dễ rồi

Ta có: \(x^2+2y^2+2xy=y+2\)
\(\Leftrightarrow4x^2+8y^2+8xy-4y-8=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+2y\right)^2+\left(2y-1\right)^2=9\)
Vì \(x\), \(y\) là số nguyên nên \(2x+2y\) và \(2y-1\) cũng là số nguyên.
Từ biểu thức trên, ta có: \(0\le\left(2x+2y\right)^2\le9\) do bình phương của một số nguyên luôn là một số chính phương.
Đồng thời, \(\left(2x+2y\right)^2=4\left(x+y\right)^2⋮4\) với mọi \(x\), \(y\) nguyên.
Nên: \(\left(2x+2y\right)^2=4\)
Và: \(\left(2y-1\right)^2=5\)
Nhưng \(\left(2y-1\right)^2\) phải có giá trị là một số chính phương.
Nên: không có \(x\), \(y\) nguyên thỏa đề bài.

Ta có:\(\dfrac{x^2-10+15}{x^2-6x+15}=\dfrac{4x}{x^2-12x+15}\left(đkxđ:x\ne\sqrt{21}+6;-\sqrt{21}+6\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-6x+15-4x}{x^2-6x+15}=\dfrac{4x}{x^2-12x+15}\)

\(\Leftrightarrow1-\dfrac{4x}{x^2-6x+15}=\dfrac{4x}{x^2-12x+15}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4x}{x^2-6x+15}+\dfrac{4x}{x^2-12x+15}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{x-6+\dfrac{15}{x}}+\dfrac{4}{x-12+\dfrac{15}{x}}=1\)

Đặt \(x+\dfrac{15}{x}=t\)

PT\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{t-6}+\dfrac{4}{t-12}=1\)

\(\Leftrightarrow4t-48+4t-24=t^2-18t+72\)

\(\Leftrightarrow8t-72=t^2-18t+72\)

\(\Leftrightarrow t^2-26t+144=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=18\\t=8\end{matrix}\right.\)

Thay vào từng trường hợp rồi tìm x

\(\dfrac{x^2-10x+15}{x^2-6x+15}=\dfrac{4x}{x^2-12x+15}\)

đặt :\(x^2-6x+15=y\) ta đc:

\(\dfrac{y^2-4x}{y}=\dfrac{4x}{y^2-6x}\)

<=>\(\dfrac{\left(y^2-4x\right)\left(y^2-6x\right)}{y\left(y^2-6x\right)}=\dfrac{4xy}{y\left(y^2-6x\right)}\)

=>\(y^4-6xy^2-4xy^2+24x^2=4xy\)

<=>

tớ xin lỗi, tớ k làm đc định hủy thì ấn nhầm vào trả lời, xin lỗi nhiều

Đặt \(\dfrac{x+2}{x+1}=a;\dfrac{x-2}{x-1}=b\), pt trở thành:

\(a^2+b^2-\dfrac{5}{2}ab=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\dfrac{1}{2}b\right)\left(a-2b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}b\\a=2b\end{matrix}\right.\)

To be continued. . .

bài 1: a) \(mx^2-2\left(m-1\right)x+m+1=0\)

\(\Delta'=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-m\left(m+1\right)\)

\(\Delta'=m^2-2m+1-m^2-m\)

\(\Delta'=-3m+1\)

để pt đã cho vô nghiệm thì \(\Delta'< 0\Leftrightarrow-3m+1< 0\Leftrightarrow m>\dfrac{1}{3}\)

b) \(3x^2+mx+m^2=0\)

có \(\Delta=m^2-4.3.m^2\)

\(\Delta=m^2-12m^2=-11m^2\)

để pt đã cho vô nghiệm thì \(\Delta< 0\Leftrightarrow-11m^2< 0\Leftrightarrow m>0\)

c) \(m^2.x^2-2m^2x+4m^2+6m+3=0\)

\(\Delta'=\left(-m^2\right)^2-m^2.\left(4m^2+6m+3\right)\)

\(\Delta'=m^4-4m^4-6m^3-3m^2\)\(\Delta'=-3m^4-6m^3-3m^2\)

để pt vô nghiệm thì \(\Delta'< 0\Leftrightarrow-3m^4-6m^3-3m^2< 0\)

\(\Leftrightarrow-3m^2.\left(m^2+2m+1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow-3m^2.\left(m+1\right)^2< 0\)

\(\Leftrightarrow-3m^2< 0\) ( vì \(\left(m+1\right)^2>0\forall m\ne-1\) )

\(\Leftrightarrow m>0\)

vậy \(m>0\) và \(m\ne1\)

1. Phương trình có nghiệm kép

\(\Leftrightarrow\Delta>0\\ \Leftrightarrow5^2-4.m.\left(-3\right)>0\\ \Leftrightarrow25+12m>0\\ \Leftrightarrow12m>-25\\ \Leftrightarrow m>\dfrac{-25}{12}\)

1. Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(\Leftrightarrow\Delta>0\\ \Leftrightarrow5^2-4.m.\left(-3\right)>0\\ \Leftrightarrow25+12m>0\\ \Leftrightarrow12m>-25\\ \Leftrightarrow m>\dfrac{-25}{12}\)

2. Phương trình có nghiệm kép:

\(\Leftrightarrow\Delta'=0\\ \Leftrightarrow m^2-\left(m-1\right).3=0\\ \Leftrightarrow m^2-3m+3=0\left(1\right)\)

Giải phương trình \(\left(1\right)\) ta được:

\(\Delta_m=3^2-4.1.3=-3< 0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình \(\left(1\right)\) vô nghiệm.

Vậy không có giá trị nào của \(m\) thoản mãn để phương trình có nghiệm kép.