Question

tìm các số nguyên x và y thỏa mãn: x²+2y²+2xy=y+2

Answer 1

Ta có: \(x^2+2y^2+2xy=y+2\)
\(\Leftrightarrow4x^2+8y^2+8xy-4y-8=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+2y\right)^2+\left(2y-1\right)^2=9\)
Vì \(x\), \(y\) là số nguyên nên \(2x+2y\) và \(2y-1\) cũng là số nguyên.
Từ biểu thức trên, ta có: \(0\le\left(2x+2y\right)^2\le9\) do bình phương của một số nguyên luôn là một số chính phương.
Đồng thời, \(\left(2x+2y\right)^2=4\left(x+y\right)^2⋮4\) với mọi \(x\), \(y\) nguyên.
Nên: \(\left(2x+2y\right)^2=4\)
Và: \(\left(2y-1\right)^2=5\)
Nhưng \(\left(2y-1\right)^2\) phải có giá trị là một số chính phương.
Nên: không có \(x\), \(y\) nguyên thỏa đề bài.