Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Đặt \(t=x^2\left(t\ge0\right)\)

PT trở thành \(x^2-2mt+m^2-1=0\left(1\right)\)

Để PT có 4 nghiệm thì PT phải có 2 nghiệm dương

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta`=1>0\\s=t_1+t_2=\dfrac{-b}{a}=2m>0\\p=t_1.t_2=\dfrac{c}{a}=m^2-1>0\end{matrix}\right.\)

Giải hệ PT trên ta được m>1.

Vậy m>1 thì PT có 4 nghiệm.

Có gì sai sót mong bạn thông cảm.

\(x^3+5x^2-6x=0\)

\(x^3-x^2+6x^2-6x=0\)

\(x^2\left(x-1\right)+6x\left(x-1\right)=0\)

\(\left(x-1\right)x\left(x+6\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=0\\x=-6\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Ta thấy \(x^2+xy+y^2=(x+\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}y^2\geq 0\) với mọi \(x,y\in\mathbb{Z}\)

\(\Rightarrow x+2y\geq 0\)

Có: \(5(x^2+xy+y^2)=7(x+2y)\Leftrightarrow 5(4x^2+4xy+4y^2)=28(x+2y)\)

\(\Leftrightarrow 5[(x+2y)^2+3x^2]=28(x+2y)\)

Nếu \(x\geq 2\) hoặc \(x\leq -2\) thì \(x^2\geq 4\)

Áp dụng BĐT Am-Gm kết hợp \(x+2y\geq 0\)

\((x+2y)^2+3x^2\geq 2\sqrt{(x+2y)^23x^2}=2(x+2y)\sqrt{3x^2}\)

Vì \(x^2\geq 4\Rightarrow (x+2y)^2+3x^2\geq 2(x+2y)^2\sqrt{12}>6(x+2y)\)

\(\Leftrightarrow 5[(x+2y)^2+3x^2]>30(x+2y)>28(x+2y)\) (vô lý)

Do đó \(-2< x<2\Rightarrow x\in \left\{-1;0;1\right\}\)

Thử lần lượt các giá trị trên vào PT ban đầu thu được các bộ nghiệm thỏa mãn là \((x,y)=\left\{(-1,3),(0,0),(1,2)\right\}\)

\(A=\dfrac{x^2-2x+2}{x^2+2x+2}\)

\(\Leftrightarrow Ax^2+2Ax+2A=x^2-2x+2\)

\(\Leftrightarrow\left(A-1\right)x^2+\left(2A+2\right)x+\left(2A-2\right)=0\) (*)

Để (*) có nghiệm thì

\(\Delta'\ge0\Leftrightarrow\left(A+1\right)^2-2\left(A-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow-A^2+6A-1\ge0\)

\(\Leftrightarrow3-2\sqrt{2}\le A\le3+2\sqrt{2}\)

Vậy GTNN của A là \(3-2\sqrt{2}\); GTLN của A là \(3+2\sqrt{2}\)

\(B=\dfrac{x^2+2x+2}{x^2+1}\)

Làm tương tự câu a ta được \(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\le B\le\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\)

A=\(\dfrac{x^2-2x+2}{x^2+2x+2}\)

Ta có

\(\Delta_x=4\left(m-1\right)^2-4\left(m+1\right)\left(m-3\right)\)

\(\Rightarrow\Delta_x=4m^2-8m+4-4\left(m^2-3m+m-3\right)\)

\(\Rightarrow\Delta_x=4m^2-8m+4-4m^2+8m+12\)

\(\Rightarrow\Delta_x=16>0\)

=> Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\)

Theo Vi-ét, ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2m+2}{m+1}\\x_1x_2=\dfrac{m-3}{m+1}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài, ta có \(x_1=2x_2\) và \(x_xx_2>0\)

Thay vào Hệ :

\(\left\{{}\begin{matrix}3x_2=\dfrac{2m+2}{m+1}\left(2\right)\\\dfrac{m-3}{m+1}>0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (3), ta có

Trường hợp 1 :

\(\left\{{}\begin{matrix}m-3>0\\m+1>0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>3\\m>-1\end{matrix}\right.\Rightarrow m>3\)

Trường hợp 2 :

\(\left\{{}\begin{matrix}m-3< 0\\m+1< 0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 3\\m< -1\end{matrix}\right.\Rightarrow m< -1\)

Từ (1), (2) ta có hệ sau

\(\left\{{}\begin{matrix}3x_2=\dfrac{2m+2}{m+1}\\x_1x_2=\dfrac{m-3}{m+1}\end{matrix}\right.\)

Đến đây chỉ cần dùng phương pháp thế là xong