Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thành Phát

Tìm nghiệm nguyên (x;y) của phương trình: \(5\left(x^2+xy+y^2\right)=7\left(x+2y\right)\)

Akai Haruma
29 tháng 7 2017 lúc 10:28

Lời giải:

Ta thấy \(x^2+xy+y^2=(x+\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}y^2\geq 0\) với mọi \(x,y\in\mathbb{Z}\)

\(\Rightarrow x+2y\geq 0\)

Có: \(5(x^2+xy+y^2)=7(x+2y)\Leftrightarrow 5(4x^2+4xy+4y^2)=28(x+2y)\)

\(\Leftrightarrow 5[(x+2y)^2+3x^2]=28(x+2y)\)

Nếu \(x\geq 2\) hoặc \(x\leq -2\) thì \(x^2\geq 4\)

Áp dụng BĐT Am-Gm kết hợp \(x+2y\geq 0\)

\((x+2y)^2+3x^2\geq 2\sqrt{(x+2y)^23x^2}=2(x+2y)\sqrt{3x^2}\)

\(x^2\geq 4\Rightarrow (x+2y)^2+3x^2\geq 2(x+2y)^2\sqrt{12}>6(x+2y)\)

\(\Leftrightarrow 5[(x+2y)^2+3x^2]>30(x+2y)>28(x+2y)\) (vô lý)

Do đó \(-2< x<2\Rightarrow x\in \left\{-1;0;1\right\}\)

Thử lần lượt các giá trị trên vào PT ban đầu thu được các bộ nghiệm thỏa mãn là \((x,y)=\left\{(-1,3),(0,0),(1,2)\right\}\)


Các câu hỏi tương tự
Linh Bùi
Xem chi tiết
Hoàng Nguyệt
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Minh Hoàng Nguyễn
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
nguyễn thanh tuyền
Xem chi tiết
Triết Phan
Xem chi tiết
NGUYEN THI DIEP
Xem chi tiết