Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

(x-16) (x-3x-4) = 0

⇒x-16=0 hoặc x-3x-4 = 0

* x-16 = 0 ⇔ x² = 16⇔x = 4 hoặc x = -4

* x-3x-4 = 0

△ = b²- 4ac = (-3)² - 4* 1*-4= 25>0

Vì △>0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

x₁ = 4

x₂ = -1

Vậy x = 4 hoặc x = -4 hoặc x₂ = -1

\(\left(x^2-16\right)\left(x^2-3x-4\right)=0< =>\left(x-4\right)\left(x+4\right)\left(x^2-4x+x-4\right)=0< =< \left(x-4\right)\left(x+4\right)\left[x\left(x-4\right)+\left(x-4\right)\right]=0< =>\left(x-4\right)^2\left(x+4\right)\left(x+1\right)=0< =>\left[{}\begin{matrix}x-4=0\\x+4=0\\x+1=0\end{matrix}\right.< =>\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=-4\\x=-1\end{matrix}\right.\)

\(\sqrt{6}- 3\sqrt{2}+3\sqrt{3}-9\)

\(=\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-3\right)+3\left(\sqrt{3}-3\right)=\left(\sqrt{2}+3\right)\left(\sqrt{3}-3\right)\)

\(\Rightarrow x^2-\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)x+\left(\sqrt{2}+3\right)\left(\sqrt{3}-3\right)=0\)

\(\Delta=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2-4\left(\sqrt{2}+3\right)\left(\sqrt{3}-3\right)\)

\(\Delta=2+3+2\sqrt{6}-4\sqrt{6}+12\sqrt{2}-12\sqrt{3}-36\)

\(\Delta=5-2\sqrt{6}+12\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)-36\)

\(\Delta=-31-2\sqrt{6}+12\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)< 0\)

Phương trình vô nghiệm

Câu a :

Thay \(m=2\) vào pt ta có :

\(x^2+8x+7=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-1\\x_2=-7\end{matrix}\right.\)

Câu b :

Ta có :

\(\Delta=4\left(m+2\right)^2-4\left(4m-1\right)\)

\(=4m^2+16m+16-16m+4\)

\(=4m^2+20>0\)

Do đó phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt .

Theo hệ thức vi - ét ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m-4\\x_1\times x_2=4m-1\end{matrix}\right.\)

Mà : \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2\times x_1\times x_2=30\)

\(\Leftrightarrow\left(-2m-4\right)^2-2\left(4m-1\right)=30\)

\(\Leftrightarrow4m^2+16m+16-8m+2=30\)

\(\Leftrightarrow4m^2+8m-12=0\)

\(\Leftrightarrow4\left(m^2+2m-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4\left(m-1\right)\left(m+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-1=0\\m+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=-3\) or \(m=1\)

Lời giải:

Ta thấy:

\(\Delta'=(m-1)^2+(m+1)\)

\(m^2-m+2=(m-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}>0,\forall m\in\mathbb{R}\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$
Áp dụng định lý Viete: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-2(m-1)\\ x_1x_2=-(m+1)\end{matrix}\right.\)

a)

Pt có một nghiệm nhỏ hớn 1 và một nghiệm lớn hơn 1 khi và chỉ khi:

\((x_1-1)(x_2-1)< 0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2-(x_1+x_2)+1< 0\)

\(\Leftrightarrow -(m+1)+2(m-1)+1< 0\)

\(\Leftrightarrow m-2< 0\Leftrightarrow m< 2\)

Vậy $m< 2$

b)
PT có hai nghiệm đều nhỏ hơn $2$ khi mà:

\(\left\{\begin{matrix} (x_1-2)(x_2-2)> 0\\ x_1+x_2< 4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1x_2-2(x_1+x_2)+4>0\\ x_1+x_2< 4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -(m+1)+4(m-1)+4>0\\ -2(m-1)< 4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3m-1>0\\ 2m+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m> \frac{1}{3}\)

x^4 - 2mx^2 + m^2 -1 = 0 (*)

đặt x^2 = t

pt (*) <=> t^2 -2mt + m^2 - 1 = 0 (1)

để pt (*) có 3 nghiệm phân biệt thì (1) phải có 1 nghiệm dương t1 > 0 và t2 = 0

thay t = 0 vào (1) ta được:

m^2 - 1 = 0 <=> m = -1; m= 1

thay m = -1; m= 1 vào (1) ta được:

m = -1 <=> t = -2 ; t =0 (loại)

m= 1 <=> t = 2; t= 0 (nhận)

vậy m= 1 thì pt có 3 nghiệm phân biệt

Câu hỏi của bạn khá giống câu hỏi của bạn Hoàng Thị Anh Thư, bạn có thể qua đấy tham khảo để giải :D

Thay m = 2 vào phương trình \(x^2+\left(2m+1\right)x-n+3=0\), ta được phương trình mới là:\(x^2+5x-n+3=0\) (*)

Xét phương trình (*) có: \(\Delta=\left(5\right)^2-4.1.\left(-n+3\right)=4n+13\)

Để phương trình (*) có ngiệm thì \(\Delta\ge0\Leftrightarrow n\ge\dfrac{-13}{4}\)

Vì phương trình (*) có nghiệm nên theo hệ thức Vi-et, ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-5\\x_1.x_2=-n+3\end{matrix}\right.\)

Để phương trình (*) có nghiệm dương thì\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2\ge0\\x_1.x_2\ge0\end{matrix}\right.\)hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2\le0\\x_1.x_2\le0\end{matrix}\right.\)

Vì \(x_1+x_2=-5< 0\) \(\Rightarrow x_1.x_2\le0\Leftrightarrow-n+3\le0\Leftrightarrow n\ge3\)

Ta có n nhỏ nhất là bằng 3

\(\Rightarrow\) n = 3 thì phương trình có nghiệm dương.

P/s: Mình mới học đến phần này nên nếu có sai thì mong bạn thông cảm :D

ta có : \(\Delta'=\) \(\left[-\left(m+2\right)\right]^2-m-1\) = m² + 4m + 4 - m - 1

= m² + 3m + 3 = (m + \(\dfrac{3}{2}\) )² + \(\dfrac{3}{4}\) > 0

=> pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

theo hệ thức vi-et. ta có :

x₁ + x₂ = 2(m+2)

x₁.x₂ = m+1

ta có : x₁(1- 2x₂ ) + x₂ ( 1 - 2x₁ ) = m²

=> x₁ - 2x₁x₂ + x₂ - 2x₁x₂ = m²

<=> (x₁ + x₂₎ - 4x₁x₂ = m²

<=> 2m+4 - 4( m + 1 ) = m²

<=> 2m + 4 - 4m - 4 = m²

<=> m² + 2m = 0

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}m=0\\m=-2\end{matrix}\right.\)

đặt t = x^2 - 2x