Question

Với giá trị nào của m thì đường tròn x² + y² - 2x + 4y - 20 = 0 cắt đường thẳng d: 3x + 4y + m = 0 theo một dây cung có độ dài 8 ?

Answer 1

(C): \(x^2+y^2-2x+4y-20=0\)

=> a= 1; b= -2 ; c= -20

(C): Tâm I (1;-2) và R= \(\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2+20}=5\)

Gọi AB là dây cung: AB= 8
Gọi H là hình chiếu của I trên AB:

=> AH= \(\frac{1}{2}AB\) => AH = HB = 4

Xét tam giác IAH vuông tại H:

IH² = AI² - AH² (định lí Pytago)

IH = \(\sqrt{5^2-4^2}=3\)

Ta có : d\(\left[I;\left(d\right)\right]=IH\)

⇒ \(\frac{\left|3.1+4.-2+m\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=3\)

⇌ \(\left|-5+m\right|=15\)

⇌ \(\left[{}\begin{matrix}-5+m=15\\-5+m=-15\end{matrix}\right.\)

⇌ \(\left[{}\begin{matrix}m=20\\m=-10\end{matrix}\right.\)

Vậy với m = 20 hoặc m = -10 thì thõa ycbt