Bài 5. ÔN TẬP CUỐI NĂM

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Man Bat

Ai giúp mình giải 10 bài này với. Mình cảm ơn m.n rất nhiều (Giải chi tiết dễ hiểu , vì đây là bài tự luận )

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d biết d vuông góc với đường thẳng △: \(2x-y+1=0\)và cắt đường tròn (C): \(x^2+y^2+2x-4y-4=0\) theo một dây cung có độ dài bằng 6.

Bài 2: Giải phương trình: \(x+4-\sqrt{14x-1}=\frac{\sqrt{10x-9-1}}{x}\)

Bài 3:

a) Cho\(sinx=\frac{3}{5}\left(\frac{\pi}{2}< x< \pi\right)\). Tính \(sin2x\), \(cotx\),\(tan\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\)

b)Chứng minh rằng: \(sin^6x+cox^6x=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}cos4x\)

c)Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thòa mãn hệ thức:

\(sinA+sinB+sinC=sin2A+sin2B+sin2C\)

Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm M(1;3), N(-1;2) và đường thẳng d: \(3x-4y-6=0\)

a)Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M, N.

b)Viết phường trình đường tròn tâm M và tiếp xúc với đường thằng d

c)Cho đường tròn(C) có phương trình: \(x^2+y^2-6x-4y-3=0\) .Viết phương trình đường thẳng d' qua M cắt đường tròn (C) tại hai điểm AB có độ dài nhỏ nhất.

Bài 5: Rút gọn biểu thức \(A=\frac{sinx+sin2x+sin3x}{cosx+cos2+cos3x}\)

Bài 6:Trong mặt phương với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại C, phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là \(x+y-2=0\) .Biết tam giác ABC có trọng tâm \(G\left(\frac{14}{3};\frac{5}{3}\right)\)và diện tích bằng \(\frac{65}{2}\). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 7: Cho biểu thức \(A=\frac{cos2\alpha-cos4\text{α}}{sin4\text{α}-sin2\text{α}}+\frac{cos\text{α}-cos5\text{α}}{sin5\text{α}-sin\text{α}}\), \(a\ne k\frac{\pi}{2};a\ne\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{3}\).Rút gọn biểu thức A. Từ đó tìm các giá trị của α để A=2

Bài 8:Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;0) và đường tròn (C):\(x^2+y^2-2x+4y-5=0\).

a)Xét vị trí của điểm A đối với đường tròn (C)

b)Gọi d là đường thẳng cắt đường tròn (C) tại hai điễm B, C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A, viết phường trình đường thẳng d.

Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(7;2), B(0;-4), C(3;0).

a)Viết phương trình đường thẳng BC.

b)Viết phường trình đường tròn (T) tâm A và tiếp xúc với BC.

c)Tìm điềm M trên đường tròn (T) sao cho \(MB^2-MC^2=53\)

Bài 10: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có diện tích bằng \(\sqrt{3}\). Chứng minh rằng

\(\frac{a^4+b^4}{a^6+b^6}+\frac{b^4+c^4}{b^6+c^6}+\frac{c^4+a^4}{c^6+c^4}\le\frac{3}{4}\)

Nguyễn Việt Lâm
7 tháng 6 2020 lúc 19:16

Giải câu 10 trước:

Trước hết ta có đánh giá sau với các số dương: \(\frac{x^4+y^4}{x^6+y^6}\le\frac{2}{x^2+y^2}\)

Thật vậy, BĐT trên tương đương:

\(\left(x^4+y^4\right)\left(x^2+y^2\right)\le2\left(x^6+y^6\right)\)

\(\Leftrightarrow x^6-x^4y^2+y^6-x^2y^4\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^4\left(x^2-y^2\right)-y^4\left(x^2-y^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)^2\left(x^2+y^2\right)\ge0\) (luôn đúng)

Đặt vế trái của biểu thức là A, áp dụng kết quả trên, ta có:

\(A\le\frac{2}{a^2+b^2}+\frac{2}{b^2+c^2}+\frac{2}{c^2+a^2}\le\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\) (1)

Theo công thức Hê-rông:

\(\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\frac{a+b+c}{2}\right)\left(\frac{a+b-c}{2}\right)\left(\frac{a+c-b}{2}\right)\left(\frac{b+c-a}{2}\right)}=\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)=48\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{z+x}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\) (2)

\(\Rightarrow xyz\left(x+y+z\right)=48\)

\(\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3xyz\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow\left(xy+yz+zx\right)^2\ge144\Rightarrow xy+yz+zx\ge12\)

Thế (2) vào (1) \(\Rightarrow A\le\frac{4}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{4}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}+\frac{4}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\)

\(\Rightarrow A\le\frac{8\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\le\frac{8\left(x+y+z\right)}{\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{9}{xy+yz+zx}\le\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c\)

Nguyễn Việt Lâm
7 tháng 6 2020 lúc 19:30

Câu 9:

\(\overrightarrow{BC}=\left(3;4\right)\Rightarrow\) đường thẳng BC nhận \(\left(4;-3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình BC:

\(4\left(x-0\right)-3\left(y+4\right)=0\Leftrightarrow4x-3y-12=0\)

b/ (T) tiếp xúc BC khi và chỉ khi \(R=d\left(A;BC\right)\)

\(\Leftrightarrow R=\frac{\left|7.4-2.3-12\right|}{\sqrt{4^2+\left(-3\right)^2}}=2\)

Phương trình (T): \(\left(x-7\right)^2+\left(y-2\right)^2=4\)

c/ Đặt \(M\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{BM}=\left(x;y+4\right)\\\overrightarrow{CM}=\left(x-3;y\right)\end{matrix}\right.\)

\(MB^2-MC^2=53\Leftrightarrow x^2+\left(y+4\right)^2-\left(x-3\right)^2+y^2=53\)

\(\Leftrightarrow3x+4y-23=0\) \(\Rightarrow y=\frac{23-3x}{4}\)

Thế vào pt đường tròn:

\(\left(x-7\right)^2+\left(\frac{23-3x}{4}-2\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow25x^2-313x+945=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=\frac{189}{25}\end{matrix}\right.\)

Có 2 điểm M thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}M\left(5;2\right)\\M\left(\frac{189}{25};\frac{2}{25}\right)\end{matrix}\right.\)

Nguyễn Việt Lâm
7 tháng 6 2020 lúc 19:51

Câu 8:

Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;-2\right)\) bán kính \(R=\sqrt{10}\)

\(\overrightarrow{AI}=\left(0;-2\right)\Rightarrow IA=\sqrt{0+\left(-2\right)^2}=2< R\)

\(\Rightarrow A\) nằm phía trong đường tròn

b/ Gọi \(x\) là độ dài đại số của khoảng cách từ O đến đường thẳng BC, H là trung điểm BC \(\Rightarrow\left|x\right|=IH\)

ABC cân vuông tại A \(\Rightarrow AI\perp BC\) \(\Rightarrow A;I;H\) thẳng hàng; \(AH=\frac{1}{2}BC\)

Pitago tam giác IAH:

\(x^2=R^2-\left(\frac{BC}{2}\right)^2=10-AH^2=10-\left(AI+x\right)^2=10-\left(2+x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2=10-x^2-4x-4\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow d\left(I;BC\right)=\frac{3}{2}\) (với đường thẳng BC nằm khác phía I so với A)

BC vuông góc AI nên nhận \(\left(0;1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình BC có dạng: \(y+a=0\)

\(d\left(I;BC\right)=\frac{3}{2}\Leftrightarrow\left|-2+a\right|=\frac{3}{2}\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=\frac{7}{2}\\a=\frac{1}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình BC (hay d) : \(y+\frac{7}{2}=0\)

Nguyễn Việt Lâm
7 tháng 6 2020 lúc 20:09

Câu 7:

\(A=\frac{2sin3a.sina}{2cos3a.sina}+\frac{2sin3a.sin2a}{2cos3a.sin2a}=\frac{sin3a}{cos3a}+\frac{sin3a}{cos3a}=2tan3a\)

\(A=2\Leftrightarrow tan3a=1\Rightarrow3a=\frac{\pi}{4}+k\pi\Rightarrow a=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{3}\)

Câu 6:

Gọi D là trung điểm AB \(\Rightarrow CD\perp AB\) và G thuộc CD

\(\Rightarrow GD\perp AB\Rightarrow GD=d\left(G;AB\right)=\frac{\left|\frac{14}{3}+\frac{5}{3}-2\right|}{\sqrt{2}}=\frac{13\sqrt{2}}{6}\)

Theo tính chất trọng tâm: \(GD=\frac{1}{3}CD\Rightarrow CD=\frac{13\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow AB=\frac{2S}{CD}=5\sqrt{2}\)

\(CD\perp AB\Rightarrow\) đường thẳng CD nhận \(\left(1;-1\right)\) là 1 vtpt

Pt CD (qua G) có dạng:

\(1\left(x-\frac{14}{3}\right)-1\left(y-\frac{5}{3}\right)=0\Leftrightarrow x-y-3=0\)

D là giao điểm CD và AB nên tọa độ: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y-3=0\\x+y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{GD}=\left(-\frac{13}{6};-\frac{13}{6}\right)\)\(\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{GD}\Rightarrow C\left(9;6\right)\)

\(AB=5\sqrt{2}\Rightarrow A;B\) thuộc đường tròn tâm D bán kính \(R=\frac{AB}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\) có pt:

\(\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{25}{2}\)

Tọa độ A; B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{25}{2}\\x+y-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y-2=0\\x^2-5x=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(0;2\right)\\B\left(5;-3\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AC}\Rightarrow\) pt trung trực AC \(\Rightarrow\) tâm I đường tròn ngoại tiếp \(\Rightarrow\)...

Nguyễn Việt Lâm
7 tháng 6 2020 lúc 20:20

Bài 5:

\(A=\frac{sinx+sin3x+sin2x}{cosx+cos3x+cos2x}=\frac{2sin2x.cosx+sin2x}{2cos2x.cosx+cos2x}=\frac{sin2x\left(2cosx+1\right)}{cos2x\left(2cosx+1\right)}=\frac{sin2x}{cos2x}=tan2x\)

Bài 4:

\(\overrightarrow{NM}=\left(2;1\right)\Rightarrow\) đường thẳng MN nhận \(\left(1;-2\right)\) là 1 vtpt

Phương trình MN:

\(1\left(x-1\right)-2\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow x-2y+5=0\)

Đường tròn (T) tâm M tiếp xúc d \(\Leftrightarrow R=d\left(M;d\right)=\frac{\left|3-4.3-6\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}=3\)

Phương trình (T): \(\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=9\)

Đường tròn (C) có tâm \(I\left(3;2\right)\) bán kính \(R_1=4\)

\(\overrightarrow{MI}=\left(2;-1\right)\Rightarrow IM=\sqrt{5}< R\Rightarrow\) M nằm phía trong (C)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên \(d'\)

Pitago: \(IH^2+\left(\frac{AB}{2}\right)^2=R_1^2\Rightarrow AB=2\sqrt{16-IH^2}\)

\(\Rightarrow AB_{min}\) khi \(IH_{max}\)

Trong tam giác vuông \(IHM\) ta luôn có \(IH\le IM\)

\(\Rightarrow IH_{max}=IM\) khi H trùng M hay \(d'\perp IM\)

\(\Rightarrow d'\) nhận \(\left(2;-1\right)\) là 1 vtpt và đi qua M

Phương trình d': \(2\left(x-1\right)-1\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow2x-y+1=0\)

Nguyễn Việt Lâm
7 tháng 6 2020 lúc 20:30

Câu 3:

\(\frac{\pi}{2}< x< \pi\Rightarrow cosx< 0\Rightarrow cosx=-\sqrt{1-sin^2x}=-\frac{4}{5}\)

\(sin2x=2sinx.cosx=2.\frac{3}{5}.\left(-\frac{4}{5}\right)=...\)

\(cotx=\frac{cosx}{sinx}=...\)

\(tan\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{tanx-tan\frac{\pi}{4}}{1+tanx.tan\frac{\pi}{4}}=\frac{\frac{sinx}{cosx}-1}{1+\frac{sinx}{cosx}}=...\)

b/

\(sin^6x+cos^6x=\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)\)

\(=1-3sin^2x.cos^2x=1-\frac{3}{4}sin^22x\)

\(=1-\frac{3}{4}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos4x\right)=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}cos4x\)

c/

\(sin2A+sin2B=2sin\left(A+B\right)cos\left(A-B\right)=2sinC.cos\left(A-B\right)\)

\(cos\left(A-B\right)\le1\Rightarrow sinC.cos\left(A-B\right)\le sinC\)

\(\Rightarrow sin2A+sin2B\le2sinC\)

Tương tự:

\(sin2A+sin2C=2sinB.cos\left(A-C\right)\le2sinB\)

\(sin2B+sin2C=2sinA.cos\left(B-C\right)\le2sinA\)

Cộng vế với vế:

\(sin2A+sin2B+sin2C\le sinA+sinB+sinC\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(cos\left(A-B\right)=cos\left(B-C\right)=cos\left(A-C\right)=1\)

\(\Leftrightarrow A-B=B-C=A-C=0\)

\(\Leftrightarrow A=B=C\) hay tam giác ABC đều

Nguyễn Việt Lâm
7 tháng 6 2020 lúc 20:34

Câu 2:

Bạn tham khảo ở đây:

Câu hỏi của Linh Chi - Toán lớp 10 | Học trực tuyến

Câu 1:

Đường tròn (C) tâm \(I\left(-1;2\right)\) bán kính \(R=3\)

\(\Rightarrow\) Đường kính đường tròn bằng 6

Do d cắt đường tròn theo dây cung có độ dài bằng 6 \(\Leftrightarrow\) d đi qua tâm I

Mà d vuông góc \(\Delta\) nên d nhận \(\left(1;2\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(1\left(x+1\right)+2\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x+2y-3=0\)


Các câu hỏi tương tự
Banhthi
Xem chi tiết
Ngọc
Xem chi tiết
Vũ Thị Phương
Xem chi tiết
hằng hồ thị hằng
Xem chi tiết
Lê Thanh Tuyền
Xem chi tiết
Diem Trang Le
Xem chi tiết
Trần Khang
Xem chi tiết
Pi Chan
Xem chi tiết
Pi Chan
Xem chi tiết