vì a , b ,c có vai trò như nhau nên giả sử a ≤b ≤c ≤ khi đó
ab + bc + ca ≤ 3bc
suy ra abc ≤ 3bc
suy ra a≤ 2
suy ra a =2 ( vì a là số nguyên tố)
với a =2 ta có
2bc < 2b +2c + bc
suy ra b< 2(b + c )<4c
suy ra b<4 suy ra b=2 hoặc b=3
- Nếu b = 2 thì 4c < 2 + 4c thoả mãn với c là nguyên tố bất kì
- Nếu b = 3 thì 6c < 6b + 5c suy ra c < 6 vậy c = 3 hoặc c = 5
Vậy các cặp số (a, b, c) càn Tìm là (2, 2, p) ; (2, 3, 3 ) ; (2, 3, 5 ) và các hoán vị của chúng , với p là số nguyên tố .
xl vì mình 0 gõ đc dấu suy ra
\[
ab + bc + ca > abc
\]
\[
ab + bc + ca > abc
\]
\[
ab + bc + ca - abc > 0
\]
Ta có:
\[
ab + bc + ca - abc = ab + bc + ca - abc = ab(1 - c) + bc + ca
\]
1. Khi \( b = 3 \):
\[
ab + bc + ca = 2 \times 3 + 3 \times c + c \times 2 = 6 + 3c + 2c = 6 + 5c
\]
So sánh với \( abc = 2 \times 3 \times c = 6c \).
- Điều kiện: \( 6 + 5c > 6c \)
- Suy ra: \( 6 > c \)
Vậy \( c \) có thể là 2, 3 hoặc 5.
- \( c = 2 \): \( ab + bc + ca = 6 + 5 \times 2 = 16 \), \( abc = 12 \), nên \( 16 > 12 \).
- \( c = 3 \): \( ab + bc + ca = 6 + 5 \times 3 = 21 \), \( abc = 18 \), nên \( 21 > 18 \).
- \( c = 5 \): \( ab + bc + ca = 6 + 5 \times 5 = 31 \), \( abc = 30 \), nên \( 31 > 30 \).
Do đó, với \( a = 2, b = 3 \), các giá trị của \( c \) là 2, 3, 5.
2. Khi \( b = 5 \):
\[
ab + bc + ca = 2 \times 5 + 5 \times c + c \times 2 = 10 + 5c + 2c = 10 + 7c
\]
So sánh với \( abc = 2 \times 5 \times c = 10c \).
- Điều kiện: \( 10 + 7c > 10c \)
- Suy ra: \( 10 > 3c \)
- Vậy \( c < \frac{10}{3} \approx 3.33 \), \( c = 2, 3 \).
- \( c = 2 \): \( ab + bc + ca = 10 + 7 \times 2 = 24 \), \( abc = 20 \), nên \( 24 > 20 \).
- \( c = 3 \): \( ab + bc + ca = 10 + 7 \times 3 = 31 \), \( abc = 30 \), nên \( 31 > 30 \).
Do đó, với \( a = 2, b = 5 \), các giá trị của \( c \) là 2, 3.
Trường hợp \( a = 3 \):
1. Khi \( b = 2 \):
\[
ab + bc + ca = 3 \times 2 + 2 \times c + c \times 3 = 6 + 2c + 3c = 6 + 5c
\]
So sánh với \( abc = 3 \times 2 \times c = 6c \).
- Điều kiện: \( 6 + 5c > 6c \)
- Suy ra: \( 6 > c \)
- Vậy \( c \) có thể là 2, 3, hoặc 5.
- \( c = 2 \): \( ab + bc + ca = 6 + 5 \times 2 = 16 \), \( abc = 12 \), nên \( 16 > 12 \).
- \( c = 3 \): \( ab + bc + ca = 6 + 5 \times 3 = 21 \), \( abc = 18 \), nên \( 21 > 18 \).
- \( c = 5 \): \( ab + bc + ca = 6 + 5 \times 5 = 31 \), \( abc = 30 \), nên \( 31 > 30 \).
Do đó, với \( a = 3, b = 2 \), các giá trị của \( c \) là 2, 3, 5.
2. Khi \( b = 5 \):
\[
ab + bc + ca = 3 \times 5 + 5 \times c + c \times 3 = 15 + 5c + 3c = 15 + 8c
\]
So sánh với \( abc = 3 \times 5 \times c = 15c \).
- Điều kiện: \( 15 + 8c > 15c \)
- Suy ra: \( 15 > 7c \)
- Vậy \( c < \frac{15}{7} \approx 2.14 \)
- \( c = 2 \): \( ab + bc + ca = 15 + 8 \times 2 = 31 \), \( abc = 30 \), nên \( 31 > 30 \).
Do đó, với \( a = 3, b = 5 \), giá trị của \( c \) là 2.
Trường hợp \( a = 5 \):
1. Khi \( b = 2 \):
\[
ab + bc + ca = 5 \times 2 + 2 \times c + c \times 5 = 10 + 2c + 5c = 10 + 7c
\]
So sánh với \( abc = 5 \times 2 \times c = 10c \).
- Điều kiện: \( 10 + 7c > 10c \)
- Suy ra: \( 10 > 3c \)
- Vậy \( c < \frac{10}{3} \approx 3.33 \)
- \( c = 2 \): \( ab + bc + ca = 10 + 7 \times 2 = 24 \), \( abc = 20 \), nên \( 24 > 20 \).
- \( c = 3 \): \( ab + bc + ca = 10 + 7 \times 3 = 31 \), \( abc = 30 \), nên \( 31 > 30 \).
Do đó, với \( a = 5, b = 2 \), các giá trị của \( c \) là 2, 3.
2. Khi \( b = 3 \):
\[
ab + bc + ca = 5 \times 3 + 3 \times c + c \times 5 = 15 + 3c + 5c = 15 + 8c
\]
So sánh với \( abc = 5 \times 3 \times c = 15c \).
- Điều kiện: \( 15 + 8c > 15c \)
- Suy ra: \( 15 > 7c \)
- Vậy \( c < \frac{15}{7} \approx 2.14 \)
- \( c = 2 \): \( ab + bc + ca = 15 + 8 \times 2 = 31 \), \( abc = 30 \), nên \( 31 > 30 \).
Do đó, với \( a = 5, b = 3 \), giá trị của \( c \) là 2.
