\(x^2+ax+b=0\) có nghiệm khi \(a^2-b^2\ge0\Rightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)\ge0\left(1\right)\)
\(x^2+2bx+a=0\) có nghiệm khi \(b^2-a^2\ge0\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b-a\right)\ge0\left(2\right)\)
\(a+b\ge2\Rightarrow a+b>0\)
\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a-b\ge0\\b-a\ge0\end{matrix}\right.\)
Ta thấy \(a-b\ge0\Rightarrow b-a\le0;b-a\ge0\Rightarrow a-b\le0\)
\(\Rightarrow dpcm\)
Gọi \(\Delta'_1;\Delta'_2\) là delta' ứng với 2 pt
\(\Delta'_1=a^2-b\) ; \(\Delta_2'=b^2-a\)
\(\Rightarrow\Delta_1'+\Delta_2'=a^2+b^2-\left(a+b\right)\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)=\dfrac{\left(a+b\right)}{2}\left(a+b-2\right)\)
Do \(a+b\ge2\Rightarrow a+b-2\ge0\)
\(\Rightarrow\Delta_1'+\Delta_2'\ge0\)
\(\Rightarrow\) Ít nhất 1 trong 2 giá trị \(\Delta_1'\) hoặc \(\Delta_2'\) không âm
\(\Rightarrow\) Ít nhất 1 trong 2 phương trình đã cho có nghiệm
