Question

Cho tam giác MNC có ba góc nhọn ,MN>MC,nội tiếp đường tròn (O;R),hai đường cao MD,CF cắt nhau tại H.
a)CM tứ giác NDHF nội tiếp
b)Tia HN cắt MC tại E.Chứng minh HE.HN=HF.HC
c)Vẽ đường kính MK của (O).Chứng minh MK vuông góc với EF

            Vẽ hình giúp mik nữa ah.

Answer 1

a: Xét tứ giác NDHF có \(\widehat{NDH}+\widehat{NFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên NDHF là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔMCN có

CF,MD là các đường cao

CF cắt MD tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔMCN

=>NH\(\perp\)MC tại E

Xét ΔHEC vuông tại E và ΔHFN vuông tại F có

\(\widehat{EHC}=\widehat{FHN}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó:ΔHEC~ΔHFN

=>\(\dfrac{HE}{HF}=\dfrac{HC}{HN}\)

=>\(HE\cdot HN=HC\cdot HF\)

c: Gọi Mx là tiếp tuyến tại M của (O)

 

Xét tứ giác CEFN có \(\widehat{CEN}=\widehat{CFN}=90^0\)

nên CEFN là tứ giác nội tiếp

Xét (O) có

\(\widehat{xMN}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Mx và dây cung MN

\(\widehat{MCN}\) là góc nội tiếp chắn cung MN

Do đó: \(\widehat{xMN}=\widehat{MCN}\)

mà \(\widehat{MCN}=\widehat{MFE}\left(=180^0-\widehat{EFN}\right)\)

nên \(\widehat{xMN}=\widehat{MFE}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Mx//EF

=>EF\(\perp\)MK