Question

Cho hình chóp S.ABC có độ dài cạnh  SA = BC = x, SB = AC = y, SC = AB = z thỏa mãn điều kiện  x 2 + y 2 + z 2 = 9 . Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABC.

A.  3 6 8

B.  3 6 4

C.  6 4

D.  2 6 5

Answer 1

Đáp án C.

Ghép hình chóp vào hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là a, b, c.

Ta có a 2 + b 2 = x 2 b 2 + c 2 = y 2 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 = x 2 + y 2 + z 2 2 c 2 + a 2 = z 2 ⇒ c 2 = y 2 + z 2 - x 2 2 a 2 = x 2 + z 2 - y 2 2 b 2 = x 2 + y 2 - z 2 2  

⇒ a b c = y 2 + z 2 - x 2 x 2 + z 2 - y 2 x 2 + y 2 - z 2 8 .  

Thể tích khối chóp S.ABCD là V = 1 3 a b c = 12 12 y 2 + z 2 - x 2 x 2 + z 2 - y 2 x 2 + y 2 - z 2 .  

≤ 1 6 2 y 2 + z 2 - x 2 + x 2 + z 2 - y 2 + x 2 + y 2 - z 2 3 3 = 1 6 2 . 3 3 = 6 4 .  

Vậy giá trị lớn nhất của V S . A B C D  là 6 4 .