Question

cho ΔABC vuông tại A, đường cao AD. Kẻ DE ⊥AB, kẻ E ∈AB, DF ⊥ AC, F ∈ AC. Trên tia đối của tia ED lấy M sao cho EM=ED, trên tia đối của tia FD lấy N sao cho FN=FD

a, AEDF là hình gì

b, Cm A là trung điểm của MN

c, BMNC là hình gì

Answer 1

a: Xét tứ giác AEDF có

\(\widehat{AED}=\widehat{AFD}=\widehat{FAE}=90^0\)

Do đó: AEDF là hình chữ nhật

b: Xét ΔADM có

AE là đường cao

AE là đường trung tuyến

Do đó: ΔADM cân tại A

=>AD=AM

ΔADM cân tại A

mà AE là đường cao

nên AE là phân giác của \(\widehat{DAM}\left(1\right)\)

Xét ΔADN có

AF là đường cao

AF là đường trung tuyến

Do đó: ΔADN cân tại A

=>AD=AN

ΔADN cân tại A

mà AF là đường cao

nên AF là phân giác của \(\widehat{DAN}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{MAN}=\widehat{MAD}+\widehat{NAD}\)

\(=2\left(\widehat{EAD}+\widehat{FAD}\right)\)

\(=2\cdot\widehat{FAE}=2\cdot90^0=180^0\)

=>M,A,N thẳng hàng(3)

AM=AD

AN=AD

Do đó: AM=AN(4)

Từ (3) và (4) suy ra A là trung điểm của MN

c: Xét ΔADB và ΔAMB có

AD=AM

\(\widehat{DAB}=\widehat{MAB}\)

AB chung

Do đó: ΔADB=ΔAMB

=>\(\widehat{AMB}=\widehat{ADB}=90^0\)

=>BM\(\perp\)MN(5)

Xét ΔADC và ΔANC có

AD=AN

\(\widehat{DAC}=\widehat{NAC}\)

AC chung

Do đó: ΔADC=ΔANC

=>\(\widehat{ANC}=\widehat{ADC}=90^0\)

=>CN\(\perp\)NM(6)

Từ (5) và (6) suy ra BM//CN

Xét tứ giác BMNC có

BM//CN

BM\(\perp\)MN

Do đó: BMNC là hình thang vuông