Question

Cho ∆ ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Kẻ MD vuông góc AB ( D ∈ AB ) ; ME vuông góc AC (E ∈ AC ).  a)Tứ giác ADME là hình gì ? Vì sao ?  b) Kẻ đường cao AH của ∆ ABC; trên tia đối của tia HA lấy điểm I sao cho HI = HA; trên tia đối của tia HB lấy điểm K sao cho HK = HB. Chứng minh AK vuông góc IC.  

Answer 1

 

a) Tứ giác ADME có:

∠AEM = ∠ADM = ∠EAD = 90⁰ (gt)

⇒ ADME là hình chữ nhật

b) Do HI = HA (gt)

⇒ H là trung điểm của AI

Do HK = HB (gt)

⇒ H là trung điểm của BK

Tứ giác ABIK có:

H là trung điểm của AI (cmt)

H là trung điểm của BK (cmt)

⇒ ABIK là hình bình hành

⇒ IK // AB

Mà AB ⊥ AC (∆ABC vuông tại A)

⇒ IK ⊥ AC

⇒ IK là đường cao của ∆ACI

Lại có:

AH ⊥ BC (do AH là đường cao của ∆ABC)

⇒ CH ⊥ AI

⇒ CH là đường cao thứ hai của ∆ACI

∆ACI có:

IK là đường cao (cmt)

CH là đường cao (cmt)

⇒ AK là đường cao thứ ba của ∆ACI

⇒ AK ⊥ IC