\(P=5x^2+y^2-2x(y+8)+2023\\=5x^2+y^2-2xy-16x+2023\\=(x^2-2xy+y^2)+(4x^2-16x+16)+2007\\=(x-y)^2+4(x^2-4x+4)+2007\\=(x-y)^2+4(x-2)^2+2007\)
Ta thấy: \(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x;y\)
\(4\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow (x-y)^2+4(x-2)^2\ge0\forall x;y\\\Rightarrow P=(x-y)^2+4(x-2)^2+2007\ge2007\forall x;y\)
Dấu \("="\) xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=2\)
Vậy \(Min_P=2007\) khi \(x=y=2\).
\(\text{#}Toru\)
\(P=5x^2+y^2-2x\left(y+8\right)+2023\)
\(=x^2-2xy+y^2+4x^2-16x+2023\)
\(=\left(x-y\right)^2+4x^2-16x+16+2007\)
\(=\left(x-y\right)^2+\left(2x-4\right)^2+2007>=2007\)
Dấu = xảy ra khi x-y=0 và 2x-4=0
=>x=y=2
P = 5x² + y² - 2x(y + 8) + 2023
= 4x² + x² + y² - 2xy - 16x + 16 + 2007
= (x² - 2xy + y²) + (4x² - 16x + 16) + 2007
= (x - y)² + (2x - 4)² + 2007
Do (x - y)² ≥ 0 với mọi x, y R
(2x - 4)² ≥ 0 với mọi x R
⇒ (x - y)² + (2x - 4)² ≥ 0 với mọi x, y ∈ R
⇒ (x - y)² + (2x - 4)² + 2007 ≥ 2007 với mọi x, y ∈ R
Vậy GTNN của P là 2007 khi x = y = 2
