a: Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC
=>B,F,E,C cùng thuộc một đường tròn
Tâm O là trung điểm của BC
b: Xét ΔABC có
BE,CF là các đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH⊥BC tại D
Xét tứ giác BFHD có \(\hat{BFH}+\hat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)
nên BFHD là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{HFD}=\hat{HBD}\)
Xét tứ giác AFDC có \(\hat{AFC}=\hat{ADC}=90^0\)
nên AFDC là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{AFD}+\hat{ACD}=180^0\)
mà \(\hat{AFD}+\hat{BFD}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{BFD}=\hat{BCA}\)
BFEC là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{BFE}+\hat{BCE}=180^0\)
mà \(\hat{BFE}+\hat{AFE}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{AFE}=\hat{ACB}\)
Xét ΔEOC có \(\hat{EOB}\) là góc ngoài tại đỉnh O
nên \(\hat{EOB}=\hat{OEC}+\hat{OCE}=2\cdot\hat{ACB}\)
Ta có: \(\hat{AFE}+\hat{BFD}+\hat{EFD}=180^0\)
=>\(\hat{EFD}=180^0-2\cdot\hat{ACB}\)
=>\(\hat{EFD}+\hat{EOD}=180^0-2\cdot\hat{ACB}+2\cdot\hat{ACB}=180^0\)
=>EFDO là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{EFD}+\hat{EOD}=180^0\)
mà \(\hat{EFD}+\hat{GFD}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{GFD}=\hat{GOE}\)
Xét ΔGFD và ΔGOE có
\(\hat{GFD}=\hat{GOE}\)
góc FGD chung
Do đó: ΔGFD~ΔGOE
=>\(\frac{GF}{GO}=\frac{GD}{GE}\)
=>\(GF\cdot GE=GD\cdot GO\)
