Câu hỏi của Trần Thiên Anh

Question

Các mệnh đề sau đúng hay sai? Giải thích. Tìm mệnh đề phủ định.a) ∀n ∈ N*, $n^2$ + n + 1 là số nguyên tố.b) ∀n ∈ N*,  1+2+...+n không chia hết cho 11.c) Tổng n số nguyên liên tiếp chia hết cho n.d)...

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Accepted Answer

a: $\forall n\in N^{\star}$ , $n^2+n+1$ là số nguyên tố(1)=>Mệnh đề phủ định là $\exists n\in N^{\star}$ , $n^2+n+1$ không là số nguyên tốKhi n=4 thì $4^2+4+1=16+5=21=3\cdot7$ là hợp số=>Mệnh đề (1) saib: $\forall x\in N^{\star};1+2+\cdots+n$ không chia hết cho 11(2)=>Mệnh đề phủ định là $\exists n\in N^{\star}$ , $1+2+3+\cdots+n$ ⋮11Khi n=11 thì $1+2+3+\cdots+n=1+2+3+\cdots+11$ $=11\cdot\frac{12}{2}=11\cdot6$ ⋮11=>(2) saic: Tổng n số nguyên liên tiếp sẽ chia hết cho n(3)=>Mệnh đề phủ định là tổng của n số nguyên liên tiếp sẽ không chia hết cho nLấy vd dãy số có 7 số gồm -4;-3;-2;-1;0;1;2Tổng của dãy số là (-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2=(-4)+(-3)=-7⋮7=>(3) đúng với n=7(5)Hoặc dãy có 9 số gồm -7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1Tổng của dãy số là (-7)+(-6)+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1=(-7)+(-6)+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)=(-9)+(-9)+(-9)=-27⋮9=>(3) đúng với n=9(4)Dãy có 8 số gồm -5;-4;-3;-2;-1;0;1;2Tổng của dãy số là (-5)+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2=(-2+2)+(-1+1)+0+(-5)+(-4)+(-3)=-9-3=-12 không chia hết cho 8(7)Từ (4),(5),(7) suy ra (3) không đúng với n∈$N^{\star}$ =>Mệnh đề (3) said: Tổng của n số nguyên lẻ liên tiếp sẽ chia hết cho n(6)=>Mệnh đề phủ định là tổng của n số nguyên lẻ liên tiếp không chia hết cho nLấy ví dụ n số nguyên lẻ liên tiếp là 5 số nguyên lẻ liên tiếp là -1;1;3;5;7Tổng của dãy số là -1+1+3+5+7=3+5+7=10+5=15⋮5=>(6) đúng với n=5(8)6 số nguyên lẻ liên tiếp là -1;1;3;5;7;9Tổng của dãy số là (-1)+1+3+5+7+9=(-1)+1+(3+5+7+9)=12+12=24⋮6=>(6) đúng với n=6(9)Từ (8) và (9) suy ra mệnh đề (6) đúng với mọi $n\in N^{\star}$ e: $\exists x\in Q,x^2+x+1=0$ (10)=>Mệnh đề phủ định là $\forall x\in Q,x^2+x+1<>0$ Ta có: $x^2+x+1$ $=x^2+x+\frac14+\frac34$ $=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34\ge\frac34>0\forall x$ =>Mệnh đề (10) saif: $\forall x\in R,x^4-x+1>0$ (11)=>Mệnh đề phủ định là $\exists x\in R;x^4-x+1<0$ Nếu x<0 thì ta sẽ có $x^4>0;-x>0$ =>$x^4-x+1>0$ (12)Nếu x=0 thì ta sẽ có $0^4-0+1=1>0$ (13)Nếu 0-x+1>0=>$-x+1+x^4>0$ (14)Nếu x>1 thì ta có: $x^4-x+1=x\left(x^3-1\right)+1=x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+1>0$ (15)Từ (12),(13),(14),(15) suy ra mệnh đề (11) đúngg: $\forall n\in N;n^2+1$ không chia hết cho 8(16)=>$\exists n\in N;n^2+1$ ⋮8Nếu n=2k thì $n^2+1=\left(2k\right)^2+1=4k^2+1$ không chia hết cho 8(17)Nếu n=2k+1 thì $n^2+1=\left(2k+1\right)^2+1$ $=4k^2+4k+1+1$ $=4k^2+4k+2=4k\left(k+1\right)+2$ Vì k;k+1 là hai số nguyên liên tiếp nên k(k+1)⋮2=>4k(k+1)⋮8mà 2 không chia hết cho 8nên 4k(k+1)+2 không chia hết cho 8(18)Từ (17),(18) suy ra mệnh đề (16) đúngh: $\forall n\in N;n^2+n+1$ không chia hết cho 9(19)=>Mệnh đề phủ định là $\exists n\in N;n^2+n+1$ ⋮9Ta có: $n^2+n+1=n^2+2n-n-2+3$ =n(n+2)-(n+2)+3=(n+2)(n-1)+3Nếu n^2+n+1 chia hết cho 9 thì (n+2)(n-1)+3⋮9=>(n+2)(n-1)+3⋮3=>(n+2)(n-1)⋮3Giả sử n=5 thì (5+2)(5-1)=10*4=40 không chia hết cho 3=>(19) saii: $\forall n\in N;n^2+11n+39$ không chia hết cho 49(20)=>Mệnh đề phủ định là $\exists n\in N$ ; $n^2+11n+39$ ⋮49=>$n^2+11n+18+21$ ⋮49=>$\left(n+2\right)\left(n+9\right)+21$ ⋮7=>(n+2)(n+9)⋮7mà (n+9)-(n+2)=7nên n+9 và n+2 phải đồng thời chia hết cho 7, điều này chắc chắn không đúng với mọi n=>(20) saij: nếu a là số nguyên lẻ thì $a^4-1$ ⋮8(21)=>Mệnh đề phủ định là nếu a là số nguyên chẵn thì $a^4-1$ không chia hết cho 8Khi a lẻ thì a=2k+1$a^4-1=\left(2k+1\right)^4-1$ $=\left\lbrack\left(2k+1\right)^2-1\right\rbrack\left\lbrack\left(2k+1)^2+1\right\rbrack\right.$ $=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(4k^2+4k+1+1\right)$ $=2k\left(2k+2\right)\left(4k^2+4k+2\right)$ $=2k\cdot2\cdot\left(k+1\right)\cdot2\left(2k^2+2k+1\right)=8k\left(k+1\right)\left(2k^2+2k+1\right)$ ⋮8=>Mệnh đề (21) đúngk: $\forall a\in Z;a^4$ chia 8 chỉ dư 0 hoặc 1(22)=>Mệnh đề phủ định là $\exists a\in Z;a^4$ chia 8 có số dư khác 0 và 1Nếu a=2k thì $a^4=\left(2k\right)^4=16k^4$ ⋮8=>$a^4$ chia 8 dư 0(23)Nếu a=2k+1 thì $a^4-1=\left(2k+1\right)^4-1$ $=\left\lbrack\left(2k+1\right)^2-1\right\rbrack\left\lbrack\left(2k+1)^2+1\right\rbrack\right.$ $=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(4k^2+4k+1+1\right)$ $=2k\left(2k+2\right)\left(4k^2+4k+2\right)$ $=2k\cdot2\cdot\left(k+1\right)\cdot2\left(2k^2+2k+1\right)=8k\left(k+1\right)\left(2k^2+2k+1\right)$ ⋮8=>$a^4-1$ chia 8 sẽ dư 0 nếu a lẻ=>$a^4$ chia 8 sẽ dư 1 nếu a lẻ(24)Từ (23),(24) suy ra mệnh đề (22) đúngCâu trả lời: a: $\forall n\in N^{\star}$ , $n^2+n+1$ là số nguyên tố(1)=>Mệnh đề phủ định là $\exists n\in N^{\star}$ , $n^2+n+1$ không là số nguyên tốKhi n=4 thì $4^2+4+1=16+5=21=3\cdot7$ là hợp số=>Mệnh đề (1) saib: $\forall x\in N^{\star};1+2+\cdots+n$ không chia hết cho 11(2)=>Mệnh đề phủ định là $\exists n\in N^{\star}$ , $1+2+3+\cdots+n$ ⋮11Khi n=11 thì $1+2+3+\cdots+n=1+2+3+\cdots+11$ $=11\cdot\frac{12}{2}=11\cdot6$ ⋮11=>(2) saic: Tổng n số nguyên liên tiếp sẽ chia hết cho n(3)=>Mệnh đề phủ định là tổng của n số nguyên liên tiếp sẽ không chia hết cho nLấy vd dãy số có 7 số gồm -4;-3;-2;-1;0;1;2Tổng của dãy số là (-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2=(-4)+(-3)=-7⋮7=>(3) đúng với n=7(5)Hoặc dãy có 9 số gồm -7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1Tổng của dãy số là (-7)+(-6)+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1=(-7)+(-6)+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)=(-9)+(-9)+(-9)=-27⋮9=>(3) đúng với n=9(4)Dãy có 8 số gồm -5;-4;-3;-2;-1;0;1;2Tổng của dãy số là (-5)+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2=(-2+2)+(-1+1)+0+(-5)+(-4)+(-3)=-9-3=-12 không chia hết cho 8(7)Từ (4),(5),(7) suy ra (3) không đúng với n∈$N^{\star}$ =>Mệnh đề (3) said: Tổng của n số nguyên lẻ liên tiếp sẽ chia hết cho n(6)=>Mệnh đề phủ định là tổng của n số nguyên lẻ liên tiếp không chia hết cho nLấy ví dụ n số nguyên lẻ liên tiếp là 5 số nguyên lẻ liên tiếp là -1;1;3;5;7Tổng của dãy số là -1+1+3+5+7=3+5+7=10+5=15⋮5=>(6) đúng với n=5(8)6 số nguyên lẻ liên tiếp là -1;1;3;5;7;9Tổng của dãy số là (-1)+1+3+5+7+9=(-1)+1+(3+5+7+9)=12+12=24⋮6=>(6) đúng với n=6(9)Từ (8) và (9) suy ra mệnh đề (6) đúng với mọi $n\in N^{\star}$ e: $\exists x\in Q,x^2+x+1=0$ (10)=>Mệnh đề phủ định là $\forall x\in Q,x^2+x+1<>0$ Ta có: $x^2+x+1$ $=x^2+x+\frac14+\frac34$ $=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34\ge\frac34>0\forall x$ =>Mệnh đề (10) saif: $\forall x\in R,x^4-x+1>0$ (11)=>Mệnh đề phủ định là $\exists x\in R;x^4-x+1<0$ Nếu x<0 thì ta sẽ có $x^4>0;-x>0$ =>$x^4-x+1>0$ (12)Nếu x=0 thì ta sẽ có $0^4-0+1=1>0$ (13)Nếu 0-x+1>0=>$-x+1+x^4>0$ (14)Nếu x>1 thì ta có: $x^4-x+1=x\left(x^3-1\right)+1=x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+1>0$ (15)Từ (12),(13),(14),(15) suy ra mệnh đề (11) đúngg: $\forall n\in N;n^2+1$ không chia hết cho 8(16)=>$\exists n\in N;n^2+1$ ⋮8Nếu n=2k thì $n^2+1=\left(2k\right)^2+1=4k^2+1$ không chia hết cho 8(17)Nếu n=2k+1 thì $n^2+1=\left(2k+1\right)^2+1$ $=4k^2+4k+1+1$ $=4k^2+4k+2=4k\left(k+1\right)+2$ Vì k;k+1 là hai số nguyên liên tiếp nên k(k+1)⋮2=>4k(k+1)⋮8mà 2 không chia hết cho 8nên 4k(k+1)+2 không chia hết cho 8(18)Từ (17),(18) suy ra mệnh đề (16) đúngh: $\forall n\in N;n^2+n+1$ không chia hết cho 9(19)=>Mệnh đề phủ định là $\exists n\in N;n^2+n+1$ ⋮9Ta có: $n^2+n+1=n^2+2n-n-2+3$ =n(n+2)-(n+2)+3=(n+2)(n-1)+3Nếu n^2+n+1 chia hết cho 9 thì (n+2)(n-1)+3⋮9=>(n+2)(n-1)+3⋮3=>(n+2)(n-1)⋮3Giả sử n=5 thì (5+2)(5-1)=10*4=40 không chia hết cho 3=>(19) saii: $\forall n\in N;n^2+11n+39$ không chia hết cho 49(20)=>Mệnh đề phủ định là $\exists n\in N$ ; $n^2+11n+39$ ⋮49=>$n^2+11n+18+21$ ⋮49=>$\left(n+2\right)\left(n+9\right)+21$ ⋮7=>(n+2)(n+9)⋮7mà (n+9)-(n+2)=7nên n+9 và n+2 phải đồng thời chia hết cho 7, điều này chắc chắn không đúng với mọi n=>(20) saij: nếu a là số nguyên lẻ thì $a^4-1$ ⋮8(21)=>Mệnh đề phủ định là nếu a là số nguyên chẵn thì $a^4-1$ không chia hết cho 8Khi a lẻ thì a=2k+1$a^4-1=\left(2k+1\right)^4-1$ $=\left\lbrack\left(2k+1\right)^2-1\right\rbrack\left\lbrack\left(2k+1)^2+1\right\rbrack\right.$ $=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(4k^2+4k+1+1\right)$ $=2k\left(2k+2\right)\left(4k^2+4k+2\right)$ $=2k\cdot2\cdot\left(k+1\right)\cdot2\left(2k^2+2k+1\right)=8k\left(k+1\right)\left(2k^2+2k+1\right)$ ⋮8=>Mệnh đề (21) đúngk: $\forall a\in Z;a^4$ chia 8 chỉ dư 0 hoặc 1(22)=>Mệnh đề phủ định là $\exists a\in Z;a^4$ chia 8 có số dư khác 0 và 1Nếu a=2k thì $a^4=\left(2k\right)^4=16k^4$ ⋮8=>$a^4$ chia 8 dư 0(23)Nếu a=2k+1 thì $a^4-1=\left(2k+1\right)^4-1$ $=\left\lbrack\left(2k+1\right)^2-1\right\rbrack\left\lbrack\left(2k+1)^2+1\right\rbrack\right.$ $=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(4k^2+4k+1+1\right)$ $=2k\left(2k+2\right)\left(4k^2+4k+2\right)$ $=2k\cdot2\cdot\left(k+1\right)\cdot2\left(2k^2+2k+1\right)=8k\left(k+1\right)\left(2k^2+2k+1\right)$ ⋮8=>$a^4-1$ chia 8 sẽ dư 0 nếu a lẻ=>$a^4$ chia 8 sẽ dư 1 nếu a lẻ(24)Từ (23),(24) suy ra mệnh đề (22) đúng

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)