Vì tổng của 5 số bất ki là 1 số dương nên chắc chắn trong 31 số nguyên, có 1 số dương.
Vậy số các số nguyên còn lại là: 31-1=30 (số)
Ta chia 30 số này ra thành 6 nhóm, mỗi nhóm gồm 5 số. Mà ta có tổng của 5 số bất kì là 1 số dương nên tổng của 6 nhóm mà mỗi nhóm đều là số dương sẽ là 1 số dương. Vậy tổng của 30 số nguyên là một số dương.
Ta có: Tổng của 30 số nguyên là 1 số dương và 1.số nguyên còn lại là số dương nên Tổng 31 số là số dương.=>đpcm.
Vì tổng của 5 số bất kì trong 31 số nguyên đã cho là một số dương nên theo nguyên lí Đi-ric-le thì trong 31 số dương đó có ít nhất 1 số là số dương.
Ta tách riếng số dương đó và chia 30 số nguyên còn lại thành 6 nhóm,mỗi nhóm có 5 số nguyên.
\(\Rightarrow\) Mỗi nhóm đều có tổng là 1 số dương ( vì theo bài ra tổng của 5 số bất kì luôn là một số dương ).
\(\Rightarrow\) 6 nhóm đó có tổng là một số dương hay tổng của 30 số nguyên là một số dương.
Mà số ta đã tách ra cũng là một số dương nên tổng của 30 số trên và số dương đã tách ra cũng là một số nguyên dương.
Vậy tổng của 31 số đó là một số dương.